Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 1.3: Coeficientes binomiales 15
D em ostración.
Al sustituir x = 1 en (x + y)", escribam os
(1 + y ? = (1 + V'XI + v ) " " 1 = (1 + y Y ~ ' + y(\ + y Y ~ '
e igualem os el coeficiente de y ' en (1 + y f con aquellos en (l + y )" -1 +
y(l + y)"-1 . Puesto que el coeficiente de y r en (1 + y f es
y el coeficiente de
y r e n ( l + y)” -1 + y (l + y )"-1 es la suma del coeficiente de / en (l + y)"-1 , esto
es. y el coeficiente de y ' -1 en (l + y f ~ x, esto es, obtenem os
lo cual com pleta la dem ostración.
A lternativam ente, tom e cualquiera de los n objetos. Si no incluirá entre los r objetos,
hay ^ m aneras de seleccionar r objetos; si va a incluirse, hay ^ ^ m a­
neras de seleccionar los otros r 2 1 objetos. Por consiguiente, hay ^ y +
m aneras de seleccionar los r objetos, esto es.
; : ! )
El teorem a 1.11 tam bién se puede dem ostrar al expresar los coeficientes binom iales,
en am bos lados de la ecuación, en térm inos de factoriales y entonces proceder de
m anera algebraica, pero dejarem os esto al lector en el ejercicio 1.12. E n el ejercicio 1.11
se da una aplicación im portante del teorem a 1.1 1, donde proporciona la clave para la
construcción de lo que se conoce com o el triángulo d e Pascal.
Para enunciar el tercer teorem a sobre los coeficientes binom iales, hagam os la siguiente
definición: = 0 siem pre que n sea un entero positivo y r sea un entero p o ­
sitivo m ayor que n. (E v id en tem en te, no hay form a en que podam os seleccionar un
subconjunto que contenga m ás elem entos que todo el conjunto m ism o.)