Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

248 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
jo ia gráfica de la densidad de X a la izquierda de x. D iferenciam os y = F ( x ) con
respecto a r . y obtenem os
^ = F(x) = f(x)
y por tan to
dx 1 1
dy dy f(x)
dx
siem pre que f(x) ¥= 0. Se sigue por el teorem a 7.1 que
g(y) = f{x)
1
flx)
= 1
para 0 < y < 1 . y podem os decir que y tiene la densidad uniform e con a = 0 y
0=1. a
La transform ación que efectuam os en este ejem plo se llam a transformación de la
integral de probabilidad. El resultado no es sólo de im portancia teórica, sino que facilita
la simulación de los valores observados de variables aleatorias continuas. E n la p á ­
gina 265 se da una referencia de cóm o se hace, especialm ente en relación con la
distribución norm al.
C uando no se satisfacen las condiciones que sustentan el teo rem a 7.1. podem os
e sta r en dificultades serias y tendríam os que usar el m étodo de la sección 7.2 o una generalización
del teorem a 7.1 al que nos referim os entre las referencias de la página 265;
algunas veces hay una salida fácil, com o en el siguiente ejem plo.
EJEM PLO 7.9
Si X tiene una distribución norm al estándar, encuentre la densidad de probabilidad de
Z = X 2.
Solución
Puesto que la función dada p or z = x 2 es decreciente para valores negativos de
x, y creciente para los valores positivos de x. no se satisfacen las condiciones del
teorem a 7.1. Sin em bargo, es posible hacer en dos pasos la transform ación de X
a Z: prim ero, encontram os la densidad de probabilidad de Y = \ X | , y después
encontram os la densidad de probabilidad de Z = Y 7 ( = X 2).
E n lo tocante al prim er paso, ya hem os estu d iad o la transform ación
Y = | A' i en el ejem plo 7.2; de hecho, dem ostram os que si X tiene la d istrib u ­
ción norm al estándar, entonces Y = \X\ tiene la densidad de probabilidad
g(y) = 2/t(y;0,1) = 2"
para y > 0, y g(y) = 0 en cualquier otra parte. P ara el segundo paso, la función
dada por z = y2 es creciente para y > 0, esto es, p ara todos los valores de Y p a­
ra lo cuales g (y ) ^ 0. Así, podem os usar el teorem a 7.1, y puesto que