Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 3.4: Funciones de densidad de probabilidades 93
A nálogo al teo rem a 3.1, enunciem os ahora las siguientes propiedades de las d ensidades
de probabilidad que. una vez más. se siguen directam ente de los postulados de
probabilidad.
t e o r e m a 3 .5 U na función puede servir com o una densidad de probabilidad de
una variable aleatoria continua X si sus valores, f{x). satisfacen las condicionest
1. f(x) £ 0 p a ra —oo < x < oo;
2. J j ( x ) d x = l .
EJEM PLO 3.9
Si X tiene la densidad de probabilidad
f(x)
_ í k • e ~ix
z lo
p ara x > 0
en cu a lq u ier o tra p a rte
encuentre k y P (0 .5 S X S 1).
Solución
Para satisfacer la segunda condición del teorem a 3.5. debem os ten er
e~ix 11 k
k • e~3x dx = k • lím — = - = 1
i - » — 3 | 0 3
y se sigue que k — 3. P ara la probabilidad obtenem os
P( 0.5 S J fS l)* f 3e~ix dx = - e " 3*
Jos
i
0.5
= - e ~ 3 + e~u = 0.173
A u nque la variable aleatoria del ejem plo an terio r no puede asum ir valores negativos,
am pliam os artificialm ente el dom inio de su densidad de probabilidad para incluir todos
los núm eros reales. Ésta es una práctica que seguirem os en todo este texto.
C om o en el caso discreto, hay m uchos problem as en los que nos interesa conocer
la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria continua X sea m enor que
o igual a algún núm ero real x. Así. hagam os la siguiente definición análoga a la definición
3.3.
t Las condiciones no son “si y sólo si" como en el teorema 3.1 porque /(.*) podría ser negativa
para algunos valores de la variable aleatoria sin afectar a cualesquiera de las probabilidades. Sin
embargo, ambas condiciones del teorema 3.5 las satisfacen casi todas las densidades de probabilidad
usadas en la práctica y estudiadas en este texto.