Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

338 Capítulo 10: Estimación: teoría
EJEM PLO 10.10
Si X i% X 2, ..., X „ constituyen una m uestra aleatoria de tam año n de una población de
B em oulli, dem uestre que
A _ AT, + X 2 + - + X n
6 “ ----------------- n-----------------
es un estim ador suficiente del p arám etro 6.
Solución
P or la definición 5.2
f[x,;0) = £*'(l - 0 ) 1 - ' 4 p a r a x¡ = 0 , 1
de m anera que
fai-xi
x.) = rjr'(i - #)'-'■
1=1
= 0- 1 ( i — 0 )
= e*(i - e y - J
= 0 * (1 - 0)n~né
para x¡ = 0 o 1 e i = 1,2,..., n. T am bién, puesto que
X = X x + X 2 + ••• + X„
es una variable aleatoria binom ial con los parám etros 8 y n, su distribución está
dada por
b(x;n,$) =
" 0)"~x
y la técnica de la transform ación de la variable de la sección 7.3 nos da
s(á) = ( „ n¿ ) e"i(1 - e)"” ‘ para® = ° '¿ 1
A hora, al sustituir en la fórm ula p ara f[xx, x2,. . . , j:„|0 ) en la página 337, o b te ­
nem os