Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 3.7: Distribuciones condicionales 123
r ( x 2, x3, x 4|x ,) = ’ 't4-) b{Xl) * 0
p ara el valor de la distribución condicional conjunta de X 2, X 3 y XA en (x2, x 3, x4)
dado X x = Xi.
C uando trabajam os con dos o m ás variables aleatorias, son generalm ente de gran
im p o rtan cia las p reguntas de independencia. E n el ejem plo 3.25 vem os que
f(x \y) = 2x no depende del valor dado Y = y. pero éste claram ente no es el caso en
2 x ‘i ’ 4 v
el ejem plo 3.24, donde f(x\y) = - + . Siem pre que los valores de la distribución
condicional de X dado Y = y no dependan de y, se sigue que f{x\y) = g (x ), y por
tan to las fórm ulas de las definiciones 3.12 y 3.13 nos dan
fíx.y) =f(.x\y)-h(y) = n(x)-h(y)
E sto es, los valores de distribución conjunta están d ados p or los productos de los valores
correspondientes de las dos distribuciones m arginales. Al generalizar a p a rtir de
esta observación, hagam os ahora la siguiente definición.
d e f i n i c i ó n 3 .1 4 S i/(x ], x2 - O e s el valor de la distribución de probabilidad
conjunta de las n variables aleatorias discretas X t , X 2 Xn en (x 3, x 2, . . . , x„),
y f(x,) es el valor de la distribución m arginal de X, en x, para i = 1, 2 , . . . , n.
entonces las n variables aleatorias son independientes si y sólo si
fixi . J f j
x„) = fi{xx)-f2(x2)- ... •fn{xn)
p ara toda ( x j, x2,..., x„) d entro de su intervalo.
Para d ar la definición correspondiente para variables aleatorias continuas, sim plem ente
sustituim os la p alab ra densidad por la palabra distribución.
C on esta definición de independencia, se puede verificar fácilm ente que las tres
variables a leato rias del ejem plo 3.22 no son independientes, p e ro que las variables
aleatorias A*, y X y X x y X 3 y tam bién las dos variables aleatorias X 2 y X 3 son independientes
por parejas (ver ejercicio 3.101).
Los ejem plos siguientes sirven p ara ilustrar el uso de la definición 3.14 para
encontrar probabilidades relacionadas a varias variables aleatorias independientes.
EJEM PLO 3.26
C onsiderem os n lanzam ientos in d ependientes de una m oneda balanceada, sea A', el
núm ero de caras ( 0 o 1 ) o b ten id as en el iésim o lanzam iento para i = 1 , 2 , . . . , n.
E ncuentre la distribución de probabilidad conjunta de estas n variables aleatorias
Solución
Puesto que cada una de las variables aleatorias X ¡, para i = 1, 2 , . . . , n, tiene la
distribución de probabilidad