Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

274 Capítulo 8: Distribuciones de muestreo
l— o>
N - 1
A l hacer uso de todos estos resultados, dem ostrem os ah o ra el siguiente teorem a,
el cual corresponde al teorem a 8.1 p ara m uestras aleatorias de poblaciones finitas.
t e o r e m a 8 .6 Si X es la m edia de una m uestra aleatoria de tam año n de una
población finita de tam año N con la m edia n y la varianza o 2, entonces
E { X ) = fi y v a r(jF ) =
D e m o s tr a c ió n . Sustituim os ai = j j , var(Afj) = o-2, y c o v ( X ,,X j ) =
o 2
N - 1
en la fórm ula del teorem a 4.14, y obtenem os
E i X ) = 2 = M
i=i
var
.2
= £ _ + ? n('n ~
n ' 2
~1<)
E s interesante observar que las fórm ulas que obtuvim os para v ar( X ) e n los teo ­
rem as 8.1 y 8.6 sólo difieren p o r el factor de corrección por población finita ^ _ -y .t
C iertam ente cu ando N es grande com parado con n, la diferencia en tre las dos fórm u­
las para v ar( A’) suele ser despreciable y la fórm ula o # =
se usa a m enudo com o
t Puesto que hay muchos problemas que nos interesan en la desviación estándar más que en la varianza.
el término lino “factor de corrección por población finita” a menudo se refiere a
" en vez de " - - y . Por
supuesto, esto no im porta en tanto el uso se entienda claramente.