Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

238 Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
donde f(x) es el valor de la densidad de probabilidad de X en x y g (y )e s el valor de
densidad de probabilidad de Y en y. T am bién, use este resultado p ara en co n trar la d e n ­
sidad de probabilidad de Y = |Af | cuando X tiene la distribución norm al estándar.
Solución
P ara y > 0 tenem os
y, después de la diferenciación,
G(y) = P(YZy)
= P(\X\ á y )
= P ( - y Z X t í y )
= F (y) - F ( — y)
g(y) = /(y) + f(~y)
T am bién, p u esto que U l no puede ser negativo, g (y ) = 0 p ara y < 0. A rb itra ­
riam ente haciendo g ( 0 ) = 0 , así podem os escribir
g (« ) = f f l y ) + paray > 0
\ 0 en cu a lq u ier o tra p a rte
Si X tiene la distribución norm al estándar y Y = |A l, se sigue que
g(y) = n(y; 0 , 1 ) + n ( - y ; 0 , 1 )
= 2n(y;0 , 1 )
p ara y > 0 y g(y) = 0 en cualquier otra parte. E n el ejem plo 7.9 se puede en ­
c o n trar una aplicación im portante para este resultado. ▲
EJEM PLO 7.3
Si la densidad conjunta de X, y X2 está dada por
í 6e ,- _3X| i x ,- 2 x ¡ p a r a x , > 0 . x 2 > 0
= { o
en c u a lq u ie r o tra p a rte
encuentre la densidad de probabilidad de Y = X, + X2.
Solución
A l integrar la densidad conjunta sobre la región som breada de la figura 7.1, obtenem
os
¡■y r y ~*:
F(y) = I I 6 e-3X| ~2X} dx, d x 2
= 1 + 2e~iy - 3e~2y
y, al diferenciar con respecto a y. obtenem os
f [ y ) = 6 ( < T 2 ' - < • - ’ > )
para y > 0 : en cualquier otra parte. f(y) = 0 .
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