Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

224 Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
puesto que p = nd. Entonces, al sustituir tr = V n 0 ( 1 — 0 ), encontram os que
ln M x - ll( t ) = - t 2 + —
- Z - ¿ <T y
se aproxim a a 0 cuando n —>oo. Se sigue que
lím ln M x - J t ) —
- i r 2
<r
y puesto q u e el lím ite de un logaritm o es igual al logaritm o del lím ite (siem pre
que los dos lím ites existan), concluim os que
1 2
lím M x -jX t) = e2
tr
la cual es la función generatriz de m om entos del teorem a 6.6 con p = 0 y cr = 1
T
E sto com pleta la dem ostración del teorem a 6 .8 , pero ¿ya dem ostram os que cuando
n -* oo la distribución de Z, la variable aleatoria binom ial estandarizada, se aproxim
a a la distribución norm al están d ar? N o ex actam en te. P ara este fin. debem os
referirnos a dos teo rem as que enunciarem os sin dem ostrarlos:
1. H ay una correspondencia unívoca entre las funciones generatrices de m om entos
y las distribuciones (densidades) de probabilidad cuando existen las primeras
2. Si la fu n ció n generatriz de m om entos de una variable aleatoria se aproxim a a
la de otra variable aleatoria, entonces la distribución (densidad) de la prim e­
ra variable aleatoria se aproxim a a la de la segunda variable aleatoria bajo las
m ism as condiciones límite.
H ablando estrictam ente, nuestros resultados son válidos cuando n -* oo, pero a
m enudo se usa la distribución norm al p ara aproxim ar probabilidades binom iales aun
cuando n es relativam ente pequeña. U na buena regla em pírica es usar esta aproxim a­
ción sólo cuando nd y n ( l — 6) son am bos m ayores q ue 5.
EJEM PLO 6.6
Use la aproxim ación norm al a la distribución binomial para determ inar la probabilidad de
sacar seis caras y 10 cruces en 16 lanzam ientos de una m oneda balanceada o equilibrada.
Solución
Para en co n trar esta aproxim ación debem os usar la corrección de continuidad, de
a c u e rd o a la cual cada e n te ro n o n e g a tiv o k se re p re s e n ta co n el in te rv a lo
de k — ¿ a k + \ . C on respecto a la figura 6.9, debem os determ inar así el área b a ­
jo la curva e n tre 5.5 y 6.5, y puesto que M = 16- i = 8 y o — V 16• 5 • 5 = 2. d e ­
bem os e n c o n trar el área entre: