Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

390 Capítulo 12: Prueba de hipótesis: teoría
A l p ro b ar la hipótesis nula 0 = 0Ocontra la hipótesis alternativa 0 = 0 ^ \a cantidad
1 — 0 se conoce com o la potencia de la p ru eb a en 0 = 0 ,.
U na región crítica para pro b ar u na hipótesis nula sim ple 0 = 0Qcontra una h ipótesis
alternativa sim ple 0 = 0¡ se dice q ue es m ejor o más potente, si la potencia d e la
prueba en 0 = 0¡ está en un m áxim o. Para construir una región crítica m ás poten te en
esta clase de situación, hacem os referencia a las verosim ilitudes (véase la página 346)
de una m uestra aleatoria de tam año n de la población en consideración cuando 0 = 0O
y 0 = 0 ,. D enotem os estas verosim ilitudes con L 0 y L lt tenem os así
n
¿ o = n A * - ; 0 o) y í-i =
¡ = 1 í“ ]
H ablando intuitivam ente, es evidente que debe ser pequeña para puntos de la
" i
m uestra dentro de la región crítica, lo que lleva a errores de tipo I cuando 0 = 0Qy a de-
L 0
cisiones correctas cuando 0 = 0 ,; de la misma m anera, es evidente que — debe ser grane
l
de para puntos de la m uestra fuera de la región crítica, lo que lleva a decisiones correctas
cuando 0 = 0Oy a errores de tipo II cuando 0 = 0 ,. El siguiente teorem a dem uestra el
hecho que este argum ento, ciertam ente, garantice una región crítica más potente.
n
TEOREMA 12.1 ( Lem a de N eym an-Pearson) Si C es una región crítica de tam a­
ño a y A: es una constante tal que
^ 1
d e n tro de C
y
fu era d e C
entonces C es una región crítica m ás p o ten te de tam año a p ara p ro b ar 0 = 0O
contra 0 = 0 , .
D e m o stra c ió n . Suponga que C es una región crítica que satisface las condiciones
del teo rem a y que D es alguna o tra región crítica de tam año a. A sí
J " f L0dx = J " J L0dx = a
donde dx rep resen ta a d x i ,d x 2, . . . . dx„, y las dos integrales m últiples se tom an
sobre las respectivas regiones C y D de n dim ensiones. A hora, al hacer uso del
hecho que C es la unión de los conjuntos ajenos C C\ D y C C\ D ', m ientras que
D es la unión de los conjuntos ajenos C C\ D y C ' C\ D , podem os escribir
í ••• í L 0 dx + í • • í L 0 dx = í í L 0 dx 4- í ••• f L {)dx = a
cn o c n /r c n o c n o
D