Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 4 .3: M om entos 141
r — 1, tenem os fx\ = E(X), que es justam ente el valor esp erado de la variable aleatoria
X, y en vista de su im portancia en la estadística le dam os un sím bolo especial y
un nom bre especial
d e f in ic ió n 4 3 n\ se llam a la m edia de la d istrib u ció n de X, o sim p le m e n te la
m ed ia de X. y se d e n o ta con ix.
Los m om entos especiales que definirem os a continuación son de im portancia en
la estadística p orque sirven para describir la form a de la distribución de una variable
aleatoria, esto es, la form a de la gráfica de su distribución o densidad de probabilidad.
d e f in ic ió n 4.4 El résim o m om ento alred ed o r del origen de una variable aleatoria
X, d enotado por n , , es el valor esperado de (X — /x)r; sim bólicam ente,
= E[(X - M)'] =
X
para r = 0, 1 , 2 , . . . cuando X es discreta, y
= £ [ ( * - m )'] = (-<■ - dx
cuando X es continua
A dvierta que fi0 = 1 y ¿i, = 0 para cualquier variable aleatoria para la cual fx exista
(véase el ejercicio 4.25).
El segundo m om ento alrededor de la m edia es de especial im portancia en estadística
porque indica la am plitud o dispersión de la distribución de una variable aleatoria;
así, se le da un sím bolo especial y un nom bre especial.
DEFINICIÓN 4 3
fi2 se llam a la varianza de la distribución de X, o sim plem ente la
varíanz.a de X, y se den o ta por a 2, var(X) o V'(A'): a. la raíz cuadrada positiva de
la varianza, se llam a la desviación estándar.
La figura 4.1 m uestra cóm o la varianza refleja la am plitud o dispersión de la distribución
de una variable aleatoria. M ostram os aquí los hislogram as de las distribuciones de
probabilidad de cuatro variables aleatorias con la m ism a m edia fx = 5 pero con varianzas
iguales a 5.26. 3.18, 1.66 y 0.88. C om o se puede ver, un valor pequeño de a 2 sugiere
que es probable que obtengam os un valor cercano a la m edia, y un valor grande de
a 1 sugiere que hay una m ayor probabilidad de sacar un valor q ue no está cercano a la
m edia. E sto se exam inará m ás am pliam ente en la sección 4.4. U n breve exam en de có-