Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

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Capítulo 6: Densidades de probabilidad especiales
6.6 Se dice q ue una variable aleatoria tiene la distribución d e Cauchy si su densidad
está dada por
P
M = ( , - a ? + ? P a r“ < 1 ■= °°
D em uestre que para esta distribución no existen p \ y p í.
6.7 Use la integración por partes p ara m ostrar que T (a ) = ( a — 1) • T (a — 1) p a ­
ra a > 1.
6.8 E fectúe un cam bio apropiado de variable para m ostrar que la integral que d e ­
fine la función gam m a se puede escribir com o
T (a ) = 2 '~a- J z2a^ie dz p a ra a > 0
6.9 A l usar la form a de la función gam m a del ejercicio 6 .8 , podem os escribir
y por tanto
r Q ) = V 2 í e~'-r dz
Jo
[ r m r = 2{ / V ^ } { =
C am bie a coordenadas polares para evaluar esta integral doble, y así dem ostrar
que r(i) = V tt.
6.10 E ncuentre las probabilidades de que el valor de una variable aleatoria excederá
a 4 si tiene una distribución gam a con
(a) a = 2 y 0 = 3;
(b) a = 3 y /3 = 4.
6.11 M uestre q ue una distribución gam m a con a > 1 tiene un m áxim o relativo en
x = fi(a — 1). ¿Q ué pasa cuando 0 <a< 1 y a = 1?
6.12 D em uestre el teorem a 6.4, haga la sustitución y = M cnla integral que
define Mx (t).
'
6.13 E xpanda la función generatriz de m om entos de la distribución gam m a com o
una serie binom ial, y lea los valores de /xí, /xj, /tj y y.\.
6.14 Use los resultados del ejercicio 6.13 para en co n trar a } y a 4 para la distribución
gam m a.
6.15 M uestre q ue si una variable aleatoria tiene una densidad exponencial con el p a ­
rám etro 0, la probabilidad de que asum irá un valor m enor q ue —0 ■In (1 — p)
es igual a p para 0 % p < 1 .
6.16 Si X tiene una distribución exponencial, dem uestre que
P ( X £ t + T \ X S T ) = P {X S t)
Esta propiedad de una variable aleatoria exponencial es paralela a la de una
variable aleatoria geom étrica dada en el ejercicio 5.40.