Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

94 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad
d e f in ic ió n 3.5
Si X e s u n a v a ria b le a le a to r ia c o n tin u a y el v a lo r d e su d e n s id a d
d e p r o b a b ilid a d e n t e s f(t), e n to n c e s la fu n c ió n d a d a p o r
/•'(.O = P{X á x ) = í f(t) di p a ra — oo < x < oo
J-00
se llam a la función de distribución, o la distribución acumulativa, de X .
Las propiedades de las funciones de distribución dadas en el teorem a 3.2 son tam ­
bién válidas en el caso continuo; esto es, F( — oo) = 0, F(oo) = 1 y F(a) á (¿>)
cuando a < b. A dem ás, se sigue directam ente de la definición 3.5 que
t e o r e m a 3.6 Si f(x) y F{x) son los valores de la densidad de probabilidad y la
función de distribución de X en x, entonces
P(a ^ X á b) - F(b) - F(a)
para cualesquier constantes reales a y b con a S b, y
donde la derivada existe.
EJEM PLO 3.10
E ncuentre la función de distribución de la variable aleatoria X del ejem plo 3.9, y úsela
para evaluar de nuevo P(0.5 i ^ S 1),
Solución
Para * > 0,
F(x) = f At) di = í 3e~*dt= - -
J - <x>
Jo
y puesto que F{x) = 0 para x á 0, , podem os escribir
. í 0 p a ra x á o
“ \ l - e " 1* p a ra x > 0
Para d eterm in ar la probabilidad P(0.5 ^ X ^ 1 ) ,usam os la prim era p a rte del
teorem a 3.6, y obtenem os
P{0.5 S X ^ 1) = F(l) - F (0.5)
= O " ^ 3) - (1 " e -'* )
= 0.173