Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .3: La distribución de la m edia: poblaciones finitas 275
una aproxim ación cuando estam os m uestreando a partir de una población finita gran ­
de. U na regla em pírica general es usar esta aproxim ación cuando la m uestra no constituye
m ás del 5% d e la población.
EJERCICIOS
8 .1 U se el corolario del teorem a 4.15 para m ostrar que si X ¡ , X 2, . . . , X„ constituyen
una m uestra aleatoria de una población infinita, entonces
para r = 1 , 2 , . . . , n.
cov(AV — X , X ) = 0
8 .2 U se el teo re m a 4.14 y su coro lario para m o strar q u e si A jí, A j2, . . . , A j„t ,
X 2x, X u X ^ , son variables aleatorias independientes, donde la prim eras n ]
constituyen una m uestra aleatoria de una población infinita con la m edia ¿t, y
la varianza o-f y las o tra n 2 constituyen una m uestra aleatoria de una población
infinita con la m edia /x2 y la varianza a \ , entonces
(a ) E ( X , - X ; ) = mi - m: ;
(b) var(J, -X 2) = ^ + ^.
8 3 C on respecto al ejercicio 8.2, dem uestre que si las dos m uestras vienen de poblaciones
norm ales, ento n ces A , — X 2 es una variable aleatoria que tiene la
distribución norm al con la m edia /x, — f i 2 y la varianza
proceda com o en la dem ostración del teo rem a 8.4.)
+ j p . (Sugerencia:
8 .4 Si X y , A 2 A„ son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones
de B ernoulli idénticas con el parám etro 0. entonces X es la proporción de
éxitos en n intentos, lo que denotam os con 0 . V erifique que
(a ) £ ( Ó ) = 6;
0 ( 1 - 0 )
(b ) v a r ( e ) = ------ .
8 3 Si las prim eras n, variables aleatorias del ejercicio 8.2 tienen distribuciones de
B ernoulli con el p arám etro 0, y las o tras n 2 variables aleatorias tienen distribuciones
de B ernoulli con el parám etro 02, dem uestre que. en la notación del ejercicio
8.4,
(a ) £ ( 0 ! - é 2) = 0, - 02;
* . 0 , ( 1 - 0 ,) 02( 1 - 0 2)
(b ) v a r(0 , - 0 2) = + .
8 .6 D em uestre el teorem a 6 .8 , considere las variables aleatorias binom iales com o en
la página 263, esto es, com o sum as de variables aleatorias de Bernoulli independientes
distribuidas en form a idéntica y utilice el teorem a del lím ite central.
8 .7 Lo siguiente es una condición suficiente para el teorem a del lím ite central: si las
variables aleatorias A ',, X 2, . . . , X„ son independientes y uniform em ente lim ita-