Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

200 Capítulo 5: Distribuciones de probabilidad especiales
5 .9 L A D IS T R IB U C IÓ N H IP E R G E O M É T R IC A M U L T IV A R IA D A
Justo com o la distribución hipergeom étrica tom a el lugar de la distribución binom ial
para el m uestreo sin reem plazo, tam bién existe una distribución m uitivariada análoga
a la distribución m ultinom ial que aplica al m uestreo sin reem plazo. Para derivar esta
fórm ula, considerem os un conjunto de N elem entos, de los cuales A/, son elem entos de
la prim era clase, M2 son elem entos de la segunda clase,... y Mk son elem entos de la Aésik
m a clase tales q u e ^ M, = N. C om o en relación con la distribución m ultinom ial, estam
os interesados en la probabilidad de o b ten er x} elem entos (resultados) de la prim e­
ra clase, x2 elem entos de la segunda clase,,.., y xk elem entos de la Pésim a clase, pero
ahora estam os escogiendo sin reem plazo, /i de los N elem entos del conjunto.
H ay
^ m an eras de escoger x, de los A/, elem entos de la p rim era clase,
m aneras de escoger x2 elem entos de los M2 elem entos de la segunda c la s e .... y
m aneras de escoger xk elem entos de los Mk elem entos de la Pésim a clase, y por tanto,
M A fM A fM k\ J
11 ] • . . . • ! I m aneras de escoger los \ x ¡ = n elem entos requeridos. Pues-
.ti / \ x2 / \ x k /
/ N \
to q ue hay I I m an eras de escoger n de los N elem entos en el conjunto y suponem os
que to d as son ig u alm en te p o sib les (q u e es lo q ue q u e re m o s d e c ir cu an d o afirm a ­
m os que la selección es al azar), se sigue que la pro b ab ilid ad d esead a está d a d a por
M
x
d e f in ic ió n 5.9 Las variables aleatorias X{, X2 tienen una d istrib u ció n
hipergeom étrica m u itiv ariad a y se conocen com o variables aleatorias hipergeom
étricas m ultivariadas si y sólo si su distribución de probabilidad conjunta está
d ada por
( " ’X x
f[xi , x 2 xk \ n. A/,, M2 Mk) = — l----------
k
k
p ara x¡ = 0, 1 , . . . , n y x, á A/, para cada i, donde 2 x¡ = n y ^ M¡ = N.
1=1 1=1
Así. la distribución conjunta de las variables aleatorias bajo consideración, esto es, la
distribución de los núm eros de resultados de las diferentes clases, es u na distribución
hipergeom étrica m uitivariada con los parám etros n, Mx, M2,... y Mk.