Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 7.4: Técnica de transform ación: varias variables 249
dJL = L A
dz 2
obtenem os
M z) =
2 - j j
e
V 2 TT K 1
p ara z > 0. y h(z) = 0 en cualq u ier o tra p arte. O bserve q ue p u esto que
r Q ) = V r r , la distribución a la que hem os llegado para Z es una distribución ji
cuadrada (véase la definición 6.4) con v = 1. ▲
7 .4 T É C N IC A D E T R A N S F O R M A C IÓ N : V A R IA S V A R IA B L E S
El m étodo de la sección precedente tam bién se puede usar para en co n trar la distribución
de una variable aleatoria que es una función de dos o m ás variables aleatorias. Supongam
os, por ejem plo, que se nos d a la distribución conjunta de dos variables
aleatorias X , y X 2 y que querem os determ inar la distribución de probabilidad o la d e n ­
sidad de probabilidad de la variable aleatoria Y = u ( X j, X2). Si la relación entre y y
.r, con x2 m antenida constante o la relación en tre y y x2 con .r, m antenida constante lo
perm ite, podem os proceder en el caso discreto com o en el ejem plo 7.4 para encontrar
la distribución conjunta de Y y X 2 o la de X { y F y luego sum arles los valores de la otra
variable aleatoria para obten er la distribución m arginal de Y. E n el caso continuo, p rim
ero usam os el teorem a 7.1 con la fórm ula de transform ación escrita com o
síy.-O = f o t , * 2)
dx.
dy
o com o
g{x,,y) = /(-ti. * 2)
£>y
donde fix\,x¿ ) y la derivada parcial se deben expresar en térm inos de y y x2 o .r, y y.
en to n ces sacam os p o r integración la o tra variable para o b ten e r la densidad m arginal
de y.
EJEM PLO 7.10
Si y son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones de Poisson
con los parám etros A, y Á2. encuentre la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria Y — A', + X 2.