Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 8 .6: La distribución f 289
EJERCICIOS
835 Demuestre el teorema 8.9.
8 3 6 D em uestre el teorem a 8.10.
8 3 7 V erifique la identidad
í - l 1=1
q ue usam os en la dem ostración del teorem a 8 . 1 1 .
838 U se el teo rem a 8.11 para m ostrar que, para m uestras aleatorias d e tam año n de
una población norm al con la varianza o-2, la distribución de m uestreo S 2 tiene
20.4
la m edia a 2 y la v a ria n z a (E n el libro de H . C ram ér, incluido en tre las
n — 1
referencias a l final de este capítulo, se puede en co n trar una fórm ula general para
la varianza de S 2 de m uestras aleatorias de cualquier población con segundo
y cuarto m om entos finitos.)
839 D em uestre q ue si X x, X 2 X„ son variables aleatorias independientes que
tienen la distribución ji cuadrada con v = 1 y Y„ = X x + X 2 + ••• + X n, en ­
tonces la distribución lím ite de
Z
J - 1
V2/n
conform e n —►0 0 es la distribución norm al estándar.
8.40 C on base en los resultados del ejercicio 8.39, m uestre que si X es una variable
aleatoria que tiene una distribución ji cuadrada con v grados d e libertad y v es
Af — |p
g ran d e, la distribución de — -7 = - se pued e aproxim ar con la distribución n o r­
m al estándar.
^ *-v
8.41 U se el m étodo del ejercicio 8.40 para en co n trar el valor aproxim ado de la p ro ­
babilidad d e que una variable aleatoria que tiene una distribución ji cuadrada
con v = 50 asum irá un valor m ayor q ue 68.0.
8.42 Si la am plitud de X es un conjunto de todos los núm eros reales positivos, m uestre
q ue p a ra k > 0 la p ro b ab ilid a d de q ue \ / l X — 's / l v asum irá un valor
____ ^
m enor que k es igual a la probabilidad de que — 7 ==- asum irá un valor m enor
k 2 V 2 i/
que k + ----- 7= .
2v2v
8.43 U se los resultados de los ejercicios 8.40 y 8.42 para m ostrar que si X tiene una
distribución ji cuadrada con v grados de libertad, entonces para v grande la distribución
de \ ¡ 2 X — \/2 Ü se puede aproxim ar con la distribución norm al estándar.
T am bién, use este m éto d o de aproxim ación p ara volver a resolver el
ejercicio 8.41.
8.44 E ncuentre e l porcentaje de e rro r de las aproxim aciones del ejercicio 8.41 y 8.43,
d ado q ue e l valor real d e la probabilidad (redondead o a cinco decim ales) es
0.045% .