Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Sección 10.8: El m étodo de m áxim a verosim ilitud 351
10.74 Si V\. K , . . . , Vn¡ y IV,. VV: , . . . . Wn, son m uestras aleatorias independientes de
tam año /», y n 2 de poblaciones norm ales con las m edias /x] y ^ y la varianza
com ún ir2, encuentre los estim adores de m áxim a verosim ilitud para ¿ i,. /x2 y rr2.
10.75 Sea X x, X 2, . . . , A'„ una m uestra aleatoria de tam año n de una población uniform
e dada por
ñ r .O ) =
1 1
1 para 0 — - < x < 0 + -
0 en cualquier otra parte
M uestre q u e si Yx y Yn son las estadísticas de prim er y nésim o orden, cualquier
estim ador O tal que
Y. - j S Ó S i ' + i
puede servir com o un estim ador de m áxim a verosim ilitud de 0. E sto dem uestra
que los estim adores de m áxim a verosim ilitud no son únicos.
10.76 C on respecto al ejercicio 10.75, com pruebe si los siguientes estim adores son e s­
tim adores de m áxim a verosim ilitud de 0 :
(a) \ ( Y t + Y„)-, (b) 1(V. + 2 Y2).
APLICACIONES
10.77 E n 12 días, seleccionados al azar, el consum o de electricidad de una ciudad fue
de 6.4. 4.5. 10.8, 7.2, 6 .8 , 4.9, 3.5, 16.3, 4.8, 7.0, 8 . 8 y 5.4 m illones de kilovatioshora.
Suponiendo que estos datos se pueden considerar com o una m uestra aleatoria
de u na población gam m a, use los estim adores obtenidos en el ejem plo
10.14 para estim ar los parám etros a y (i.
10.78 El tam año de un población anim al a veces se estim a p o r el método de capturarecaptura.
E n este m étodo, n, de los anim ales se capturan en el área en consideración,
se m arcan, y se liberan. M ás tarde, se capturan, n 2 de los anim ales, se
encuentra que A' de ellos están m arcados, y se usa esta inform ación para estim
ar .V, el n ú m ero total de anim ales de la clase dada en el área en consideración.
Si se capturan «, = 3 búhos raros en una sección de un bosque, se m arcan
y se liberan, m ás tarde se capturan n 2 = 4 búhos tales se capturan y sólo uno
de ellos se encuentra m arcado, estim e N por el m étodo de m áxim a verosim ilitud.
(Sugerencia: intente con N = 9, 10. 11, 12. 13 y 14.)
10.79 C ierto s neum áticos radiales tuvieron vidas útiles de 35,200, 41,000, 44.700,
38,600 y 41,500 millas. S uponiendo que estos datos se pueden considerar com o
una m uestra aleatoria de una población exponencial, use el estim ador obten i­
do en el ejercicio 10.54 para estim ar el parám etro 0.
10.80 D e seis m edidas del punto de ebullición de un com puesto de silicio, el tam año
del e rro r fue 0.07, 0.03, 0.14, 0.04, 0.08 y 0.03 C . Suponga q u e estos dato s se