Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

148 Capítulo 4: Esperanza matemática
Solución
Por definición
Mx(i) = E(e'x) =
e T -é -* dx
e-W -i) dx
C om o es bien sabido, cuando |í | < 1 la serie de M aclaurin para esta función generatriz
de m om entos es
Mx {t) = 1 + t + r + t3 + + f + •••
t t2 r1 f
= 1 + 1 ! - - + 2 ! - - + 3 ! . - + + r ! . - + -
y por tan to p ara r = 0 . 1 , 2 . ___ ▲
La dificultad principal al usar la serie de M aclaurin de una función generatriz de
m om entos p ara determ in ar los m om entos de una variable aleatoria generalm ente no es
e ncontrar la función generatriz de m om entos, sino expandirla en la serie de M aclaurin.
Si sólo estam os interesados en los pocos prim eros m om entos de una variable aleatoria,
digam os, ¿i', y fi2 , generalm ente podem os sim plificar su determ inación m ediante el siguiente
teorem a.
TEOREMA 4 .9
<TA# , ( 0 __ 9
Pr
df í=0
E sto se sigue del hecho que si una función se expande com o una serie exponencial en
t, el coeficiente de-y es la résim a derivada de la función con respecto a / en / = 0 .
E JEM P LO 4 .1 4
D ado que X tiene la distribución de probabilidad f(x) = Para * = 0 ,1 ,2 y 3,
encuentre la función generatriz de m om entos de esta variable aleatoria y úsela para d e ­
term inar fi\ y fi'2 ■