geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

96 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
37. Resumen de resultados. E n el Artículo 12 se dio un resumen
, en forma tab u lar, de los principales resultados obtenidos en el
primer capítulo. Se recomienda al estudiante que haga una tabla
semejante en que aparezcan las características y propiedades de la
recta tal como se han presentado en este capítulo.
El lector habrá notado que muchos problemas pueden resolverse
por dos o más métodos diferentes. Es una buena práctica comprobar
una solución usando un método diferente. Los ejercicios del grupo 14
son problemas generales sobre la recta y se recomienda resolverlos por
más de un método en los casos en que esto sea posible.
EJERCICIO S. Grupo 14
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Hallar, por tres métodos diferentes, el área del triángulo cuyos vértices
son A ( — 1, 1), B (3, 4) y C (5, - 1).
2. Hallar el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores
del triángulo del ejercicio 1.
3. Hallar la ecuación de la recta de Euler para el triángulo del ejercicio 1.
(Véase el ejercicio 26 del grupo 10, Art. 30.)
4. Demostrar que las medianas del triángulo del ejercicio 1 lo dividen en
seis triángulos de igual área.
5. Una recta pasa por el punto de intersección de las dos rectas
2x + 3y + 1 = 0 y 3x —■ 5y + 11 = 0 y también por la intersección de las rec-
tas x — 3y + 7 = 0, 4x + y — 11 = 0. Hállese la ecuación de la recta sin determinar
los puntos de intersección. Compruébese el resultado hallando los puntos
de intersección.
6. Demostrar, analíticamente, que las bisectrices de los dos ángulos suplementarios
formados por dos rectas cualesquiera que se cortan, son perpendiculares
entre sí.
7. La ecuación (2) del Artículo 36 para la familia de rectas que pasan por
el punto (2, 3) no incluye a la recta x = 2. Obténgase otra forma de la ecuación
de la misma familia, que sí incluya a la recta x = 2.
8. La base de un triángulo tiene una posición fija, y su longitud es constante
e igual a a. La diferencia de los cuadrados de las longitudes de los otros
dos lados es constante e igual a b-. Demuéstrese que el lugar geométrico del vértice
es una línea recta.
9. Las ecuaciones de tres rectas son
A i* + £ i y + Ci = 0, A?x + Biy + C2 = 0 y A 3X-|-£>3y-j-C3 = 0.
Si existen tres constantes, diferentes de cero, ki, Y ks, tales que la
ecuación
ki(A ix-\-B iy-\-C i) k-2 (Ajx + B-iy + C2) + fe3 (A 3X + JS3y + C 3) = 0,
se verifica para todos los valores de x y y. demuéstrese que las tres rectas son
concurrentes.