geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 359
Como la normal al plano es una recta dirigida y tiene , por tanto ,
un sistema único de cosenos directores, es evidente que no podemos
usar ambos signos de l en la ecuación (7). Para determ inar el signo
que se ha de u s a r, adoptamos ciertos convenios que establecemos a
continuación en el siguiente
T e o r e m a 10. La forma general de la ecuación de un plano
puede reducirse a la forma norm al,
Ax + By + Cz + D = 0 , (1)
x eos a + y eos 3 + z eos y — p = 0,
dividiendo cada término de (1) por r = ± V A2 + B 2 + C 2, en donde
el signo que precede al radical r se escoge como sigue:
a) S i D 0 , r es de signo contrario a D .
b ) S i T) = 0 y C5¿0,ryC son del mismo signo.
c) S i T) = C = Qy~£>7¿0,vy~B> son del mismo signo.
d) /Sí'D = C = B = 0 , entonces A ^ 0 , y r y A son del mismo
signo.
NOTA. El estudiante debe comparar este teorema con el teorema 8 del A rtículo
32.
Ejemplo. La ecuación de un plano es 2x — y + 2z — 6 = 0. Reducir dicha
ecuación a la forma normal, y hallar la longitud y ángulos directores de la
normal.
Solución. Para la ecuación dada, A = 2, B = — 1, C — 2 y D — — 6.
Por tanto, r = ± V A I + B‘ + C ! =±3. Como D es negativo, dividimos
la ecuación dada por 3. Esto nos da la forma normal
2 1 i 2 t n
— x — — u-\--—z — 2 = 0.
3 3 3
Luego la longitud de la normal es 2 y sus ángulos directores son
a = are eos % = 48° ll7,
(3 « are eos ( - H) = 109° 28'
Y = are eos 2/¡ = 48° ll7.
El estudiante debe dibujar la figura correspondiente a este ejemplo.
120. Aplicaciones de la forma normal, a) Distancia de un punto
aunplano. Sea 5 (fig. 167) el plano y P i(x i, yi, Zi) el punto.
Vamos a determ inar la distancia d de Pi a 5 .