geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Elevando al cuadrado n u ev am en te, obtenem os
de d o n d e ,
LA ELIPSE 175
c2 x2 + 2a2 c x + a4 = a2 x2 + 2a2 ex + a2 c2 + a2 y2 ,
(a2 — c2)x2 -\- a2y 2 = a2 (a2 — c2). (3)
Como 2a > 2c es a 2 > c2 y a? — c2 es un núm ero positivo que
puede ser reem plazado por el núm ero positivo b2 , es d e c ir,
b2 = a2 — c2. (4 )
Si en (3 ) reem plazam os a 2 — c2 por b2 , obtenem os
b2x 2 + a2y 2 = a2b2 ,
y dividiendo por a2 b2, se o b tien e, finalm ente,
5 + í - 1'
R ecíprocam ente, sea -Pi(a:i, x i) un punto cualquiera cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación (5), de m anera que
Xi + Vi = 1 - (6 )
Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas p ara pasar de la
ecuación (2 ) a la (5), y dando la debida interpretación a los signos
de los radicales, podemos dem ostrar que la ecuación (6 ) conduce a la
relación
V (xi — e)2 + yi2 + V (Xi + c)2 + yi2 = 2 a ,
que es la expresión analítica de la condición geom étrica (1 ) aplicada
al punto P i . Por ta n to , P i está sobre la elipse cuya ecuación está
dada por (5).
Ahora discutirem os la ecuación (5 ) de acuerdo con el Artículo 19.
P o r ser a y — a las intersecciones con el eje X , las coordenadas de
los vértices V y V ' son (a , 0) y (—a, 0), respectivam ente, y la
longitud del eje m ayor es igual a 2a , la constante que se menciona en
la definición de la elip se. Las intersecciones con el eje Y son b y — b .
P or tan to , las coordenadas de los extrem os A y A ' del eje m enor son
(0 , b) y (0 , —6), respectivam ente, y la longitud del eje m enor es
igual a 26.
Por la ecuación (5 ) vemos que la elipse es sim étrica con respecto a
am bos ejes coordenados y al orig en .