geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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52 GEOMETRIA ANALITICA PLANA Por tanto, la condición geométrica dada (3) esta expresada analíticamente por la ecuación V ( x + 1)J+ (y ~ 2)s = V(x - 4) 2 + (y + 1)>. (4) 3. Si elevamos al cuadrado ambos miembros de (4), desarrollamos, trasponemos y simplificamos, la ecuación se reduce a 5 x — "i y — 6 = 0. (5) 4. Sean (jri, yi) las coordenadas de un punto cualquiera P\ que satisfacen (5) de tal manera que la ecuación 5 xi — 3 yi — 6 = 0 Y es verdadera. Invirtiendo los pasos dados para reducir (4) a (5) , podemos demostrar que de la ecuación (6) se deduce la ecuación V (jci 1)2 -t-(yi — 2) 2 = V (*i — 4) 2 + (yi + l)2, que es la expresión analítica de la condición geométrica (3) aplicada al punto P i. Luego (5) es la ecuación buscada. El lugar geométrico, que aparece en 1a figura 32, es la perpendicular al segmento AB en su punto medio, es decir, la mediatriz del segmento AB. Ejemplo 2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a su distancia del punto A (4, 0) . Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución. 1. Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico. Sea B el pie de la perpendicular bajada de P al eje Y (fig. 33) . Según el problema, P debe satisfacer la condición geométrica ¡PB | = |PA |. (7) (6)
GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS 5 3 2. Por definición de abscisa (Art. 4) , \PB\ = l * |, y por el teorema 2 del Artículo 6, | J a | = V ( x - 4) “ + y2. Por tanto, la condición geométrica (7) está expresada, analíticamente, por la ecuación U | = v / ( x - 4 ) * + tf* . (8) Y 3. Elevando-al cuadrado ambos miembros de (8 ), desarrollando, y trasponiendo, obtenemos y2 — 8 x + 16 = 0. (9) 4. Si (jcj, yi) son las coordenadas de cualquier punto Pi que satisfacen (9), entonces yi2 - 8 x i + 16 = 0. (10) Si aplicamos a (10), en orden inverso, las mismas operaciones empleadas para reducir (8) a (9) , obtenemos I xi | = V (xi — 4) 3 + yj,3 , que es la expresión analítica de la condición geométrica (7J~ aplicada al punto Pi. Por tanto, (9) es la ecuación buscada. El lugar geométrico, una parábola, está trazado en la figura 33.
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