geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

360 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Supongamos que la forma normal de la ecuación de 5 es
x eos a + y eos (3 + z eos y — p = 0. (1)
Sea 5' el plano que pasa por P¡ y es paralelo a 5 , y sea p' la longitud
de la normal trazada desde el origen a 5 '. Como se ha convenido,
p y p' se considerarán como números positivos.
Como se indicó en el problema análogo de la distancia de un punto
a una recta en Geometría analítica plana (A rt. 33), hay seis casos
posibles para las posiciones relativas de P¡ , 5 y el origen. Solamente
uno de estos casos aparece en la figura 167. Para llegar a un resultado
Fig. 167
común a todos los casos, emplearemos distancias dirigidas. Según
esto, vamos a asignar la dirección positiva a la normal ON trazada desde
el origen al plano 5. La distancia d será considerada siempre como dirigida
del plano 5 hacia el punto Pi y, por tanto, será positiva o negativa
según que esta dirección sea igual o no a la dirección O N . E ntonces,
para cada uno de los seis casos posibles de posición de P i , 5 y O ,
tenem os, como en el Artículo 33 , ya sea la relación
o la relación
p1 = p + d (2)
p ' = — (p + d ). (3)
Por ejemplo, la relación (2) es verdadera para el caso representado
en la figura 167 en donde los ángulos directores de la normal a 5' son
idénticos a los ángulos directores correspondientes de la normal a 5 .