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404 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
las cuales, evidentem ente, permiten localizar cualquier punto de la
superficie cilindrica (1 ) cuando se conocen los valores de r , 8 y z.
Por e sto , estas cantidades se llaman coordenadas cilindricas del punto
P y se escriben ( r , 8 , z ) . De una manera más general, si un
punto fijo (el origen O ) , una recta fija (el eje X ) y un plano dado
(el plano X Y ) son tomados como elementos de referencia, entonces,
con las coordenadas cilindricas ( r , 6 , z ) , se puede localizar cualquier
punto en el espacio. Tenemos así el sistema de coordenadas
cilindricas.
E l ángulo 6 puede medirse . como en Trigonom etría, con la parte
positiva del eje X como lado inicial. Para que las coordenadas cilindricas
( r , 0 , z) representen un punto único en el espacio, restringimos
los valores de r y 8 a los intervalos
r > 0 , 0 < 0 < 2 jt.
La coordenada z no se sujeta a ninguna restricción, sino que puede
tom ar cualquier valor re al.
Eliminando 8 y z de las relaciones (2), obtenemos la ecuación (1).
Por ta n to , las ecuaciones (2 ) son las ecuaciones paramétricas de la
superficie cilindrica circular recta (1), siendo las variables 8 y z los
parám etros.
Las relaciones (2 ) pueden emplearse como ecuaciones de transformación
entre los sistemas de coordenadas rectangulares y cilindricas.
De las dos primeras de estas relaciones obtenem os, como en el sistema
de coordenadas polares de la Geometría analítica plana (Art. 81), las
relaciones
/----------- v y
r = v x2 + y 2, 6 = are tg — , sen 6 = / , . T >
a ° x ’ v x2 + y2
x
COS 8 ^—: % )
V x- + y2
las cuales pueden emplearse como ecuaciones de transformación entre
los dos sistem as.
Vamos a hacer un resumen de los resultados anteriores en el siguiente
T eorem a 7 . Las coordenadas rectangulares ( x , y , z) y las coordenadas
cilindricas ( r , 8 , z) de un punto en el espacio están ligadas
por las relaciones
x = r eos 8 , y = r sen 8 , z = z