geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

132 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
14. Desde un punto P, se trazan tangentes a las circunferencias
C u jc2 + y2 - 9 = 0 y C2: * 2 + y2 - 8x + 12 = 0.
Si la longitud de la tangente trazada a Ci es siempre igual al doble de la longitud
de la tangente trazada a C2, hallar y construir el lugar geométrico de P.
15. Un punto P se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus
distancias a las dos rectas 3jc — y + 4 = 0, x + 3 y — 7 = 0 es siempre igual a 2.
Hallar, identificar y trazar el lugar geométrico de P.
16. Desde un punto fijo de una circunferencia dada se trazan cuerdas. Demostrar
que el lugar geométrico de los puntos medios de estas cuerdas es una
circunferencia.
17. Se han trazado dos tangentes a una circunferencia, paralelas entre sí,
que cortan a una tercera tangente en los puntos A y B. Demostrar que las
rectas que unen A y B con el centro son perpendiculares entre sí.
18. Desde un punto exterior P , se trazan una tangente y una secante a una
circunferencia dada, siendo A y B los puntos de intersección de la secante con
la circunferencia. Demostrar que la longitud de la tangente es media propor­
cional entre la longitud PB de la secante y la longitud PA de su segmento
externo.
19. Por medio del teorema del ejercicio 18, resolver el ejercicio 35 del
grupo 16.
20. Demostrar que si desde cualquier punto P de la circunferencia circunscrita
a un triángulo, se bajan perpendiculares a los lados del triángulo, los pies
de estas perpendiculares son colineales. La recta que determinan se llama recta
de Simpson para el punto P.
21. Demostrar que el punto P(7, 3) está sobre la circunferencia circunscrita
al triángulo cuyos vértices son ( — 1, — 1), (2, 8), (5, 7 ), y hallar la
ecuación de la recta de Simpson para el punto P.
22. Demostrar el recíproco del teorema del ejercicio 20; es decir, demostrar
que, si el punto P se mueve de tal manera que los pies de las perpendiculares
bajadas desde él a los lados de un triángulo cualquiera son colineales, el lugar
geométrico de P es la circunferencia circunscrita al triángulo.
23. Demostrar que en un triángulo cualquiera los pies de las alturas, los
pies de las medianas, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocen-
tro (punto de intersección de las alturas) a los vértices son concídicos. Esta
circunferencia se llama con toda propiedad la circunferencia de los nueve pantos
del triángulo.
24. Hallar la ecuación de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo
cuyos vértices son (3, 7), (I, — 1) y (7, 3) obteniendo la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos medios de los lados, demostrando que los
otros seis puntos están sobre la circunferencia.
25. Demostrar que en un triángulo cualquiera el centro de la circunferencia
de los nueve puntos está sobre la recta de Euler (ver el ejercicio 26 del grupo 10).