geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

162 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
T eorem a 4. La tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier
punto Pi (x i, y i) de la curva tiene por ecuación
yi y = 2p (x + X!).
2. Tangente con una pendiente dada■ Consideremos ahora el problema
general de determinar la ecuación de la tangente de pendiente m a la parábola
(1).
La ecuación buscada es de la forma
y = mx + k, (5)
en donde k es una constante cuyo valor debe determinarse. Si sustituimos el
valor de y dado por (5) en la ecuación (1), obtenemos
o sea,
La condición para la tangencia es
de donde,
(mx + k) 2 = 4px,
m 2 x 2 + (2mk — 4p) x + k2 = 0.
([2mk — 4p) 2 — 4fc2m2 = 0,
k = -P,
m
valor que, sustituido en (5) , nos da la ecuación buscada
y = mx +-5-, m 0.
m
T eorem a 5. La tangente de pendiente m a la parábola y 2 = 4px
tiene por ecuación
y = mx + — m 0 .
m
3. Tangente trazada desde un punto exterior. Veamos el siguiente problema
:
Ejemplo. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (2, —4)
a la parábola x 2 - 6x — 4y -j- ¡7 = 0.
Solución. La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto
(2, — 4) es
y + 4 = m (x - 2) , (6)
en donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. De la ecuación
(6) , y = mx — 2m — 4, valor que sustituido en la ecuación de la parábola
nos da
x 2 — bx — 4 (mx — 2m — 4) + 17 = 0.
Esta ecuación se reduce a
Para que baya tangencia,
x 2 — (4m + 6) x + (8m + 33) = 0.
(4m + 6)2-4(8m + 33) = 0.