geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PUNTO EN EL ESPACIO 333
10. Si dos de los ángulos directores de una recta son cada uno de 60°, hállese
el tercer ángulo director.
11. Hallar los ángulos directores de la bisectriz del ángulo formado por
las partes positivas de los ejes X y Y ,
directores.
y después determinar sus cosenos
12. Demostrar que si una recta está en el plano XY, la relación del teorema
4 (Art. 110) se reduce a eos3 a + eos2 3 = 1.
po 14, Art. 37.)
(Véase el ejercicio 19 del gru­
13. Determinar a qué se reduce la relación del teorema 4 (Art. 110) para
una recta que está: a) en el plano XZ; b) en el plano Y Z.
14. El segmento dirigido Pi P 2 tiene por cosenos directores % y — }s.
Si la distancia de ? i a P¡ es
las coordenadas de P 2.
3 y las coordenadas de P i son (7, 4, 1), hallar
15. El segmento dirigido P i P2 tiene por cosenos directores ¡K. — % y
Si la distancia de Px a P¡ es 7 y las coordenadas de P2 son (8,
calcular las coordenadas de P1.
— 2, 12) ,
16. Hallar los cosenos directores de una recta cuyos números directores
son [2, 4, — 1 ] .
17. Los números directores de una recta son [—1, — 1, 3]. Hallar los
cosenos directores de la recta sí está dirigida de tal manera que el ángulo a es
agudo.
18. Los números directores de una recta son [5, — 1, 2 ]. Hallar los
ángulos directores de dicha recta si está dirigida de tal manera que el ángulo y
es agudo.
19. Sea P un punto cualquiera distinto del origen, contenido en una recta l
que pasa por el origen. Demostrar que un sistema de números directores para l
está dado por las coordenadas de P.
20. Construir la recta que pasa por el origen y tiene por números directores
[1, — 5, 4].
21. Una recta / pasa por los puntos P i y P¡. Demostrar que un sistema
de números directores de l está dado por las longitudes de las proyecciones del
segmento P1 P 2 sobre los ejes coordenados.
22.
cicio 21.
Obtener el lesultado del ejercicio 19 como un caso particular del ejer­
23. Construir la recta que pasa por el punto (6, — 9, 2) y que tiene por
números directores [4, 2. —1].
24. Hallar un sistema de números directores para la recta del ejercicio 7.
25. Por medio de números directores demostrar que los tres puntos
(2, 1, 4 ), (4, 4 ,- 1 ) y (ó, 7, — 6) son colineales.
112. Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio.
Vamos a determinar el ángulo 6 formado por dos rectas cualesquiera
dirigidas, li y U , en el espacio. Sean l'i y l'% (fig. 162) dos rectas
trazadas por el origen y paralelas, y del mismo sentido, a Zi y 12 ,
respectivamente. Por definición (Art. 110), el ángulo formado por
las rectas dirigidas li y h es el ángulo B. Sea P iix i, y i , zi) un
punto cualquiera, distinto del origen , sobre l ' i , y P 2(x 2, y2 , z-i)
otro punto cualquiera, distinto del origen sobre V i. Tam bién, sea