geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACIONES PARAME TRICAS 283
EJERCICIO S. Grupo 44
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos de
intersección de dos tangentes perpendiculares cualesquiera a la circunferencia
x 2 + y2 = a2.
2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección de
dos tangentes perpendiculares cualesquiera a la parábola y2 = 4px.
3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección de
dos tangentes perpendiculares cualesquiera a la hipérbola
b2 x 2 — a2 y2 = a2 b2, a > b.
4. Por el punto fijo A ( — a, 0) de la circunferencia x 2 + y2 = a2 se
traza una cuerda cualquiera AB. Hallar la ecuación del lugar geométrico del
punto medio de AB.
5. Por el punto fijo A ( — a, 0) de la elipse 6 2* 2 + a2 y2 = a2 b2, se
traza una cuerda cualquiera AB. Hallar la ecuación del lugar geométrico del
punto medio de AB.
6. Una recta / pasa por el origen y corta a las rectas
x + 1 = 0 y x — y + 1 = 0
en los puntos A y B, respectivamente. Hallar la ecuación del lugar geométrico
descrito por el punto medio del segmento AB a medida que la recta l gira en
torno del origen.
7. Un segmento AB de longitud constante l se mueve de tal manera que
su extremo A permanece siempre sobre el eje X y su extremo B siempre sobre
el eje Y . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto fijo P
sobre AB tal que la razón AP : BP es igual a k.
8. Hallar la ecuación de la podaria de la parábola y2 = 4px con respecto
al foco.
9. Hallar la ecuación de la podaria de la elipse b 2 x 2 + a2 y2 = a2 b?- con
respecto a su centro.
10. Demostrar, analíticamente, que una circunferencia es su propia curva
podaria con respecto al centro.
11. Hallar la ecuación de la podaria de la hipérbola b 2 x 2 — a2 y2 = a2 b2
con respecto a su centro.
12. Demostrar que si en el ejercicio 11 la hipérbola es equilátera, la podaria
es una lemníscata. (Véase el ejemplo 2 del Art. 82.)
13. Desde uno de los focos de una elipse, se traza una recta h perpendicular
a cualquiera de sus tangentes, y por el centro se traza una recta 12 que pase
por el punto de contacto. Demostrar, analíticamente, que el lugar geométrico
de la intersección de h y 12 es la directriz correspondiente.
14. Establecer y demostrar el teorema correspondiente al del ejercicio 13
para la hipérbola.
15. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección de
dos tangentes cualesquiera a la parábola y2 = 4p*, tales que el producto de sus
pendientes sea igual a una constante k.
16. Resolver el ejercicio 1? para la elipse b 2 x 2 + a2 y2 = a2 b2.