geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACIONES PARAMETRICAS 267
Ejemplo 1. Hallar la ecuación rectangular de la curva cuyas ecuaciones
paramétricas son
x = 2 + 3 tg 9, y = 1 + 4 sec 0. (1)
Solución. La presencia de tg H y sec ti como términos aislados en las ecuaciones
paramétricas (1) sugiere el empleo de la identidad trigonométrica fundamental
1 + tg2 6 = sec2 H. (2)
En efecto, si escribimos las ecuaciones (1) en la forma
— - = tg 9, —----- !• = sec 6,
3 * 4
elevamos después al cuadrado cada una de estas ecuaciones y sustituimos los
resultados en la ecuación (2) , obtenemos
o sea,
l + (x ~ 2) 2 - (v ~ D 2
) 16
(y - D 2 _ U - 2 ) 2 = j
16 9
que es la ecuación rectangular equivalente a las ecuaciones dadas y que representa
una hipérbola.
Ejemplo 2. Hallar la ecuación rectangular de la curva cuyas ecuaciones
paramétricas son
x = tvo eos a, y = tvo sen a — J/2 gt2, (3)
en donde t es el parámetro, y vo> a y g son constantes.
Solución. Como la primera ecuación es la más sencilla, despejamos de ella
el valor de t. Resulta:
t = vo eos a
Si sustituimos este valor de t en la segunda ecuación, obtenemos la ecuación
rectangular
y = * tg a - J?____ x¡¡.
2va' eos2 a
que representa una parábola.
91. Gráfica de una curva a partir de su representación paramé-
trica. Para trazar una curva a partir de su ecuación rectangular,
basta obtener las coordenadas de algunos p u n to s, asignando distintos
valores a una de las variables y calculando luego los valores correspondientes
de la otra variable, Podemos trazar también directamente
una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas sin necesidad de
pasar a su ecuación rectangular. En efecto , si asignamos un valor
particular al parámetro , las ecuaciones paramétricas determinan valores
correspondientes de x y y q u e , si son reales, representan las
coordenadas de un punto de la curva.