geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

210 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
24. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de
cualquier sistema de cuerdas paralelas de pendiente m de la hipérbola
b2 x 2 — a2 y2 = a2 b2 es y = — — x ; m ^ 0, m =*=
a2 m a
Obsérvese que el lugar geométrico es una línea recta que pasa por el centro; su
ecuación es, por lo tanto, la ecuación de un diámetro de la hipérbola. (Ver el
ejercicio 23 del grupo 29, Art. 63.)
25. Demostrar que si un diámetro de una hipérbola biseca a todas las cuerdas
paralelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuerdas
paralelas al primero. Tales diámetros se llaman diámetros conjugados de la
hipérbola. (Ver el ejercicio 25 del grupo 29, Art. 63.)
71. Primer resumen relativo a las secciones cónicas. La parábola,
elipse e hipérbola se llaman secciones cónicas o, sim plem ente, cónicas.
Hemos visto que si la ecuación
A x i + Cy2 + D x + E y + F = 0
representa un lugar geométrico re a l, éste debe ser una sección cónica
con uno de sus ejes paralelo (o coincidente) con uno de los ejes coordenados
, o bien uno de los casos excepcionales de un punto , dos rectas
coincidentes, dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan. Estos
casos excepcionales se llaman tam bién formas limite de las cónicas o
cónicas degeneradas.
E n el cuadro que se da a continuación , hemos indicado los resultados
principales obtenidos hasta a q u í. Por conveniencia nos referimos
al eje único de la parábola como a su eje focal. A dem ás, para que el
cuadro quede com pleto, hemos indicado que la parábola tiene una
excentricidad igual a la u n id a d ; esto será establecido en el capítulo
siguiente. Como la elipse y la hipérpola tienen cada una un centro ,
se llaman cónicas centrales. La parábola, no teniendo cen tro , se
llama cónica no central. La circunferencia puede considerarse como un
caso especial de la elipse.
E n la formación del cuadro, ha sido necesario, debido al tam año
limitado de la p ág in a, restringir algunos de los datos a referencias
para otras partes del lib ro . El estudiante debe , por lo tanto , reproducir
la tabla completa en una hoja de papel suficientemente grande e
incluir todos los datos dados en las referencias. Puede añadir también
otros d a to s, como , por ejemplo las ecuaciones de las tangentes a las
cónicas.