geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

256 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Para ello, multipliquemos ambos miembros de la ecuación (2) por r y traspongamos
términos. Se obtiene:
r2 — r ( — 3 V 3 eos 0 + 3 sen 6) = 0 ,
que, teniendo en cuenta la ecuación (1) , podemos escribir en la forma
Hagamos ahora
3 V 3
2c
' 3 VI , . 3
2c
= eos a y r- = sen a.
2 c
La expresión dentro del paréntesis de la ecuación (3) se convierte en
y la ecuación en
eos 0 eos a + sen 6 sen a = eos (6 — a) ,
r2 — 2cr eos {0 — a) = 0 ,
que es de la forma (1) . Evidentemente la circunferencia pasa por el polo, ya
que c3 = a2. Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ecuaciones
(4), y sumamos, obtenemos
2L + ± — \.
4c2 4c2
de donde c = =*= 3. Para el par principal de coordenadas polares del centro,
tomamos c = 3, valor para el cual las ecuaciones (4) dan a = — . Por tanto.
6
las coordenadas del centro de la circunferencia (2 ) son ^3, ■ También,
como c = a, el radio es 3.
El estudiante debe dibujar la figura correspondiente a este ejemplo y comprobar
los resultados usando coordenadas rectangulares.
87. Ecuación general de las cónicas en coordenadas polares. La
ecuación polar de una cónica tol
m a una form a particularm ente
sencilla y útil cuando uno de los
focos (fig . 121) está en el polo
y el eje focal coincide con el eje
p o la r. Sea la recta l la directriz
correspondiente del foco O ; esta
recta es perpendicular al eje polar
, y sea D el punto de intersección.
Designemos la distancia
0 .
(3)
(4)
| OD | , entre el foco y la directriz
, por la cantidad positiva p .
Sea P ir, 6) un punto cualquiera
de la cónica D esde P tracem os