geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PUNTO EN EL ESPACIO 331
1 1 1 . Números directores de una recta en el espacio. En lugar de
los cosenos directores de una recta l conviene, a veces, emplear tres
números reales, llamados números directores de l , que sean proporcionales
a sus cosenos directores. Así, a , b y c son los números
directores de una recta l , siempre que
eos a eos (3 eos y ’
en donde eos a , eos (3 y eos y son los cosenos directores de l. E videntemente
, si r ^ 0 , cualquier grupo de tres núm eros, ra, rb y re ,
puede servir como sistema de números directores. D el número infinito
de sistemas de números directores de cualquier recta , elegimos generalmente
, por sim plicidad, el compuesto por enteros de valor numérico
m ínim o.
Como tendremos que usar frecuentemente los números directores
de una recta , es conveniente introducir una notación especial para
ellos. Si tres números reales cualesquiera , a , b y c , representan los
números directores de una recta, indicaremos esto encerrándolos entre
paréntesis rectangulares, así: [ a , b , c ]. Los paréntesis rectangulares
sirven para distinguir los números directores de una recta de las
coordenadas de un punto que se encierran en paréntesis ordinarios.
Los cosenos directores de una recta pueden determinarse fácilmente
a partir de sus números directores. En efecto , igualemos cada una de
las razones de (1 ) a algún número k diferente de cero , de modo que
a = k eos a , b — k eos (3, c = k eos y . (2 )
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones (2), y
sum am os, obtenemos
a2 + b2 + c2 = k2(eos2 a + eos2 (3 + eos2 y ) ,
la cual, por el teorema 4 , Art. 110 , se reduce a
a2 + b2 + c2 = k2 ,
de manera que k = ± V a2 + b2 + c'¿ .
Por tanto , de las ecuaciones (2), tenemos el
Teobem a 5. Si [ a, b, c ] son los números directores de una recta ,
sus cosenos directores son
a p , b
eos a = ± — ■' , eos p = ± — ----- - .
V a2 + b2 + c2 V a2 + b2 + c2
c
eos y = ± . ,
V a2 + b2 + c2