geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

438 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
24. Dar una discusión completa del paraboloide hiperbólico cuya ecuación
e s ----------x2
z2
= cy. Construir la superficie para c > 0 y también para c < 0.
a2 b2
En cada uno de los ejercicios 25-30, estudiar y construir el paraboloide cuya
ecuación se da.
25. x2 + 2 z 2 = 4y. 27. 9x2 + 4 z2 + 36y = 0.
26. x2 - y2 + z = 0. 28. 4y2 + z2 + Zx = 0.
29. x2 + y2 - 4* - 6y - 18z +13=0.
30. x2 - y2 - 2* + 4y + z - 6 = 0.
31. Hallar las ecuaciones de cada uno de los haces alabeados del paraboloide
hiperbólico x2 — y2 — 4z, y demostrar que estas rectas se cortan.
32. Hallar la ecuación canónica de una cuádrica sin centro, si la superficie
se extiende a lo largo del eje Z y pasa por los puntos (2, 1, 1) y (4, 3, — 1) .
Construir la superficie.
t í r 1 • y 2 í/2 íi2 y 2
33. Las dos superficies — — = 1 y -------= 1 se llaman cilindros hia2
b2 b2 a2
perbólicos conjugados. Demostrar que ambas superficies son asintóticas a los
planos que se cortan .í, -j- -M. = 0 y — —
a b a b
= 0. Estos planos se llaman,
apropiadamente, planos asintóticos comunes de los cilindros. Constrúyanse los
cilindros y sus planos asintóticos.
34.
*
Demostrar que el paraboloide
• * • x2 ty2 , (
hiperbólico ------?— = cz es asintótico
a2 b2
a los planos que se cortan — +-^- = 0 y — — -^-=0. Estos planos son 11aa
b a b
mados, apropiadamente, planos asintóticos. Constrúyase la superficie y sus
planos asintóticos.
35. Demostrar que las rectas de cada haz alabeado del paraboloide hiperbó­
lico — = cz son paralelas a cualquiera de sus planos asintóticos (ejera2
b2
cicio 34) .
Los ejercicios 36-39 se refieren al sistema de cuádricas con centro
y 2 «|2 y 2
— 1— a--- 1-2— = 1. (?)
a2 + k T b2 + k ^ c2 + k
en donde o > 6 > c > 0 yel parámetro k puede tomar todos los valores reales
excepto — a2, — b2, — c2, y cualquier valor menor que - a2. Este sistema es
análogo al sistema de cónicas con centro (homofocales) discutido en el Art. 77.
36. Para k > — c2, demuéstrese que la ecuación (5) representa un sistema
de elipsoides cuyas trazas sobre el plano X Y son todas elipses que tienen los fo­
cos comunes (± y/ a2 — b2 , 0, 0 ).
37. Para — b2 < k < — c2, demuéstrese que la ecuación (í) representa un
sistema de hiperboloides de una hoja cuyas trazas sobre el plano XV son todas
elipses que tienen los focos comunes (± \ / a2 — b2 , 0, 0 ) .
38. Para — a2 < k < — b2, demuéstrese que la ecuación (5) representa un
sistema de hiperboloides de dos hojas cuyas trazas sobre el plano X Y son todas
hipérbolas que tienen los focos comunes (± %/ a2 — b2 , 0, 0 ) .