geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PUNTO EN EL ESPACIO 337
113. Números directores de una recta perpendicular a dos dadas.
En este artículo vamos a considerar un artificio para obtener los
números directores de una recta perpendicular a dos rectas dadas
que nos va a ser muy útil al trabajar con planos y rectas en el espacio
.
Sean [ a i , b i, ci ] y [ a i, b i, a ] los números directores dados de
dos rectas no paralelas, li y 12 , respectivam ente. Queremos determinar
los números directores [ a , b , c] de una recta cualquiera l
perpendicular a ambas h y h . Tal recta existe. En efecto, si li y I2
se cortan, l puede representar una cualquiera de las rectas paralelas
perpendiculares al plano determinado por h y I2. Si h y h se cruzan
, entonces l puede representar una cualquiera de las rectas perpendiculares
al plano determinado por dos rectas que se cortan y son
paralelas respectivamente a 11 y 12 .
Como l es perpendicular a 11 y 12 , tenem os, por el corolario 2
del teorema 7 , Artículo 112, las dos relaciones siguientes
ai a + bib + a c = 0 , \ .
( 1 J
/
El sistema ( 1 ) consta de dos ecuaciones con tres incógnitas,
a , b y c. Podemos resolver este sistema para dos cualesquiera de
estas incógnitas en función de la tercera por la regla de Cramer
(Apéndice I B , 6 ) siempre que el determinante del sistema sea diferente
de cero Este determinante puede ser uno cualquiera de los tres
determinantes
ai bi ai ci bi ci
ai &2 d2 C2 &2 C2
Uno, por lo m enos, de estos determinantes es diferente de cero.
En efecto, si fueran todos n u los, tendríam os, respectivam ente,
de donde,
di 62 == ai b i, di c2 = üíci , bi c2 — 62 c i ,
a i__ bi Ci_
a 2 &2 C2 1
y por el corolario 1 del teorema 7 , Artículo 1 1 2 , esta última relación
implica que 11 y 12 sean paralelas, lo que contradice la hipótesis.
Por tanto, podemos suponer que el primero de los determinantes ( 2 )
es diferente de cero, y resolver el sistema ( 1 ) para a y & en términos
de c.