geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

344 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
de donde , como k 0 , resulta :
A ( xl — x3) + B(yi — y-i) + C{z\ - Z3 ) = 0 . ( 6 )
Si restam os la ecuación ( 6 ) de la ecuación (3), obtenem os
Ax3 + By¡ + Cz¡ + D = 0 ,
lo que dem uestra que el punto P 3 está sobre el lugar geom étrico de la
ecuación ( 2 ). Por tanto, la ecuación (2 ) representa un p la n o . A de­
m á s, las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) m uestran que la norm al a este plano
tiene por núm eros directores [A , B , C ] . E sto com pleta la dem os­
tración .
Ejemplo 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
Pi(—2, — 1, 5) y es perpendicular a la recta l determinada por los puntos
Pt(2, - 1, 2) y P3(- 3, 1. - 2) .
Solución. Por el corolario 2 del teorema 5, Artículo 111, los números
directores de l son [—3 —2, 1 + 1, — 2 — 2], o sea, [5, — 2, 4] . Como l
es perpendicular al plano, los números directores de su normal son también
[5, — 2, 4] . Por tanto, por pasar el plano por el punto P¡ ( — 2, — 1, 5] ,
tenemos que la ecuación buscada del plano es
o sea,
5(x + 2) — 2 (y + l) + 4 (z - 5 ) = 0
5x — 2y + 4z — 12 = 0.
Ejemplo 2. Hallar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos no
colineales Px{ 2, - 1 , 1), P2 ( - 2, 1, 3) y P3 (3, 2, -2).
Solución. Como se nos han dado tres puntos del plano, nos queda por
determinar simplemente los números directores de la normal al plano. Los números
directores del segmento P 1 P 2 son [ - 2 — 2, 1 + 1, 3 — 1], o sea,
[2, — 1, — 1 ] , y los del segmento P1 P 3 son [3 — 2, 2 + 1, —2 — 1], o
sea, [1, 3, —3]. Como estos segmentos están en el plano, son ambos perpendiculares
a su normal. Por tanto, por el artificio de los números directores
(Art. 113) , los números directores de la normal son
- 1 - 1 - 1 2
2 - 1
= 6,
= 5,
3 - 3 - 3 1 1 3
Consecuentemente, usando las coordenadas del punto Pi (2, — 1, 1), hallamos
que la ecuación buscada es
o sea,
6 (* - 2 ) + 5(y + l) + 7 (z - 1) = 0
bx + 5y + 7z — 14 = 0.
116. Discusión de la forma general. En el artículo anterior hemos
obtenido que la forma general de la ecuación de cualquier plano, es
Ax + By + Cz + D = 0 , ( 1)