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288 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
tado por el segundo miembro de la ecuación (1); también se le conoce
con el nombre de raíz de la ecuación / (x) = 0. Gráficamente , cada
raíz real diferente, digamos a , representa la abscisa de un punto de
intersección de la curva con el eje X . Se demuestra en Análisis matemático
que la función polinomia / ( x ) es continua ; gráficamente, esto
significa que el lugar geométrico es una curva continua.
E jem p lo. Trazar la curva polinomia cuya ecuación es
y = x 4 — 4x3 — 3x2 + 14* — 8. (2)
Solución. Por los métodos de la teoría de ecuaciones del Algebra, se halla
que los ceros del segundo miembro de la ecuación (2) son — 2, 1, I, 4. Por
tanto, podemos escribir la ecuación (2) en la forma
y = ( * + 2) ( , - 1)2 ( * - 4 ) . (3)
Las intersecciones de la curva con el eje X son los puntos de abscisas — 2, 1
y 4. Como un ejemplo del método a seguir para obtener el signo de y para
valores de x comprendidos entre las intersecciones, lo determinaremos para valores
de x comprendidos entre — 2 y 1. Sea x = — 1, un valor comprendido
entre — 2 y 1. Para este valor de x, los signos de los factores del segundo
miembro de la ecuación (3) son + , + y —, respectivamente; por tanto, su
producto y es negativo, lo que indica que la curva está abajo del eje X para
valores de x comprendidos entre — 2 y 1. Análogamente, podemos demostrar
que entre las intersecciones 1 y 4 la curva también está abajo del eje X. El
X y
- 3 112
- 1 - 20
0 - 8
2 - 8
3 - 20
5 112
mismo procedimiento se sigue para valores no comprendidos entre los intervalos
pero incluidos por las intersecciones. Así, para x < - 2, y para x > 4, la
ecuación (3) muestra que y es positiva; luego, en estas regiones, la curva está
sobre el eje X.
Después de hacer esta investigación preliminar, conviene, generalmente,
obtener las coordenadas de algunos puntos de la curva, con el fin de obtener una
gráfica adecuada. Esto puede hacerse convenientemente utilizando los métodos
estudiados en Algebra para hallar el valor numérico de un polinomio. La gráfica
de la ecuación (2) aparece en la figura 135.
NOTA. Como los coeficientes de la ecuación (1) son reales, cualesquiera
raíces complejas de f (x) = 0 deben ocurrir en pares conjugados; entonces no hay