geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 217
Para suprimir el término en xy, hacemos girar los ejes coordenados un ángulo
6 tal que
B 4 4
tg 26 = A - C 5 - 2 3
De tg 29 podemos obtener eos 26 ya sea por medio de un triángulo rectángulo o
por la relación
de donde,
26 =
síc2e v t g* 2 í+ r
1 3
eos 26 = — — = ~f .
V ( 4 / 3 ) 2 + l
Obsérvese que por ser 6 agudo, 26 está en el primero o en el segundo cuadrantes
en donde el coseno y la tangente de un ángulo son del mismo signo. De este
valor de eos 26 podemos obtener los valores de sen 6 y eos 6 por medio de las
fórmulas trigonométricas del ángulo mitad (apéndice IC, 8) . Así,
■y¡
i — eos 26 I ) — ( 3/5 ) 1
2 V 5
1 4- eos 26 I 1 + ( 3 / í ) 2
~ = \ 2 = V I '
Las ecuaciones de transformación por rotación son entonces
2x' — y'
x — x1 eos 9 — y' sen 6 = -------—— ,
V 5
x' + 2y'
u = x1 sen 6 + y' eos 6 = — .
V I
Sustituyendo estos valores de x y y en la ecuación (7) , obtenemos
, / 2 x ' - y ' V , . f l x ' - y ' \ / x ' + 2y' \ . „ / *' + 2y> V
5 { ~ v r ) + , { ~ v r ) \ ~ ^ r ) + 2 r v T - )
la cual, por simplificación, toma la forma
/ 2x’ - y< \ , „ / * ' + 2í/ \
' 24( “ ) - |2( ^ 7 r ) +29- 0'
bx’2 + y12 - 12 V ~5V + 29 = 0. (8)
La ecuación (8) puede simplificarse, bien por una traslación de los ejes
X' y Y' o completando los cuadrados. El estudiante debe verificar el resultado,
que es la elipse (fig. 101)
bx"- + y"2 = 1.