geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

220 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
17. Resolver el ejemplo 2 del Artículo 51 por el método del Artículo 74.
18. Resolver el ejemplo del Artículo 52 por el método del Artículo 74.
19. Elevando al cuadrado dos veces, elimínense los radicales de la ecuación
x'í -|- y'/í = i. Demostrar que el lugar geométrico de la ecuación resultante es
una parábola, y determinar qué porción de esta curva representa el lugar geométrico
de la ecuación original.
20. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen
sea el punto (h, k) , demostrar que la ecuación general
f(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
se transforma en otra ecuación cuyo término constante es igual a f (h, k) .
75. Definición general de cónica. Veamos ahora una definición
geométrica de cónica que incluye a la parábola, la elipse y la hipérbola
.
D e f i n i c i ó n . Dada una recta fija l y un punto fijo F no contenido
en esa re c ta , se llama cónica al lugar geométrico de un punto P
que se mueve en el plano de l y F
de tal manera que la razón de su
distancia de F a su distancia de l
es siempre igual a una constante
positiva.
La recta fija l se llama directriz,
el punto fijo F , foco, y la constante
positiva, a la que designaremos
por e, excentricidad de la cónica.
Cuando e = 1 , la definición anterior
es la de la parábola (A rt. 54).
Sin ninguna pérdida de generalidad
, podemos tomar el eje Y
como directriz del punto F ( p , 0 ),
p 0 , como foco (fig. 102). Sea
P ( x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico. Desde P tracemos
el segmento P A perpendicular al eje Y . Entonces, por la definición
an terio r, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
I p f \
PA
lo cual puede expresarse analíticamente por la ecuación
(1)