geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES 263
EJERCICIOS. Grupo 41
En los siguientes ejercicios, después de obtener la ecuación polar del lugar
geométrico, trácese la curva por los métodos explicados en el Artículo 82,
1. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que su radio vector es siempre proporcional a su ángulo polar.
2. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que su radio vector es siempre inversamente proporcional a su
ángulo polar.
3. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que el cuadrado de su radio vector es siempre proporcional a su
ángulo polar.
4. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que el logaritmo de su radio vector, es siempre proporcional a su
ángulo polar.
5. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que el cuadrado de su radio vector es siempre inversamente proporcional
a su ángulo polar.
6. Empleando solamente coordenadas rectangulares, deducir la ecuación
rectangular de la cisoide definida en el ejemplo 1 del Artículo 88. Tómese como
origen el punto O y el diámetro fijo a lo largo de la parte positiva del eje X.
Los ejercicios 7-12 se refieren a la figura 123 del ejemplo 1 del Artículo 88.
7. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P de la recta s
si | OP | = | PC | para toda posición de s.
8. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P de la recta s
si ¡ OP | = 2 | PC | para toda posición de s.
9. Hallar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P de la recta s
si | OP ¡ = Vi | PC | para toda posición de s.
10. Sea E el pie de la perpendicular trazada del punto C al eje polar. Ha­
llar la ecuación polar del lugar geométrico del punto P de s si | OP | = ¡ C£|
para toda posición de s.
11. Con referencia a la figura del ejercicio 10, hallar la ecuación polar del
lugar geométrico del punto P de la recta s si ¡ OP | = | OE ¡ para toda posición
de s.
12. Con referencia a la figura del ejercicio 10, hallar la ecuación polar del
lugar geométrico del punto P de la recta s si | OP | = j EB | para todas las posiciones
de s.
13. Un punto P se mueve de tal manera que el producto de sus distancias a
los dos puntos fijos F (a, 0°) y F'(a, n) es siempre igual a la constante b2.
Demostrar que la ecuación polar del lugar geométrico de P es
r2 = a2 eos 28 ± b1 — a* sen2 28 .
Los lugares geométricos se llaman óvalos de Cassini.
14. Trazar la gráfica de la ecuación de los óvalos de Cassini (ejercicio 13)
cuando b = a. Demostrar que en este caso el lugar geométrico es una lemnis-
cata. (Véase el ejemplo 2 del Artículo 82.)