geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 421
D e la tab la (1), los ángulos directores del eje X , con respecto a
los nuevos e je s , son cu , , a s . E ntonces , como el eje X es norm al
al plano Y Z , se sigue, por el teorem a 9 (A rt. 119) que la ecuación
del plano Y Z , con referencia a los nuevos e je s , está dada por
x' eos a i + y' eos a 2 + z' eos 03 = 0 .
P o r el teorem a 11 (A rt. 120) el prim er m iem bro de esta ecuación
representa la distancia del punto P al plano Y Z . Pero esta distancia
tam bién está dada por la coordenada x . P or ta n to , tenem os la
relación
x = x' eos a i + y' eos ai + z' eos a 3. ( 2 )
A nálogam ente, podem os obtener expresiones similares para cada una
de las coordenadas y y z en función de las nuevas coordenadas. Vamos
a agru p ar ju n tas estas relaciones en el sistem a
x = x' eos ai + y' eos a 2 + z' eos a 3, )
y = x' eos |3i + y' eos (32 + z’ eos $3, /• ( 3 )
z = x' eos yi + y' eos yi + zl eos . )
Observam os en seguida que en el sistem a (3 ) h ay nueve cosenos
directores o constantes. E stas constantes no son todas independientes ,
porque satisfacen las seis relaciones de los sistem as (4 ) y (5 ) que
dam os a continuación. A sí, por el teorem a 4 (A rt. 110 ) , tenem os
las tres relaciones :
eos2 ai + eos2 0i + eos2 yi = 1 > }
eos2 a 2 + eos2 P2 + eos2 = 1 , ( 4 )
eos2 a 3 + eos2 03 + eos2 73 = 1 - J
T am b ién , como los nuevos ejes X ' , Y ' y Z ' son m utu am en te p erpendiculares,
tenem os, por el corolario 2 del teorem a 6 (A rt. 1 1 2 ) ,
las tres relaciones :
eos a i eos 02 + eos |3i eos p2 + eos yi eos Y2 = 0 , 1
eos a i eos a 3 + eos |31 eos 03 + eos yi eos ys = 0 , > ( 5 )
eos a 2 eos as + eos |32 eos P3 + eos 72 eos y3 = 0 . j
E l sistem a ( 3 ) expresa cada una de las coordenadas originales
de P en función de sus nuevas coordenadas. P odem os, análogam
ente , obtener expresiones sem ejantes para las nuevas coordenadas
en función de las coordenadas originales. A s í, em pleando la ecuación
del plano Y 'Z ', con respecto a los ejes originales, podem os, por el