geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

208 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
T eo r e m a 6 . Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola
b2 x2 — a2 y 2 = a 2 b2
de pendiente m son
y = mx ± V a 2 m 2 — b 2, ¡ m | > — .
Qj
La hipérbola tiene una propiedad focal análoga a la de la elipse.
E sta propiedad está basada en el siguiente teorema 7. La dem ostración
es sem ejante a la del teorem a análogo para la elipse (teorema 6 ,
A rt. 63) y , por tanto , se deja al estudiante como ejercicio.
T eo r e m a 7 . La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la
curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese pu nto.
P ara algunos de los teorem as que figuran en el siguiente grupo de
ejercicios, hay teorem as análogos sobre la elipse; esto se hace notar
en cada caso recomendando al lector que compare el teorema particular
con su análogo en el grupo 29 del Artículo 63. Tam bién debe observarse
que si en una ecuación relativa a una elipse se sustituye la cantidad
b2 por — 62, la relación análoga se verifica entonces para la
hipérbola.
EJERCICIOS. Grupo 33
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Demostrar el teorema 5 del Artículo 70.
2. Demostrar el teorema 6 del Artículo 70.
3. En el teorema 6 del Artículo 70, ¿por qué la pendiente m está restringida
a los valores comprendidos en el intervalo | m | > A ? Interpretar el resula
tado cuando | m | = A .
a
4. Demostrar el teorema 7 del Artículo 70.
En cada uno de los ejercicios 6-8, hallar las ecuaciones de la tangente y la normal
y las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal, para la
hipérbol? dada, en el punto de contacto indicado.
5. 3x¡ - y2 = 2; (1, 1) .
6. 2x* - 3y2 — bx — 4y + 12 = 0; (4,2).
7. 3x2 - 2y2 + 3* — 4y — 12 = 0; (2,1).
8. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola
X 3 — 2y2 + 4x — 8y — 6 = 0
que son paralelas a la recta 4jc — 4y + 11 = 0.