geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 223
Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la cónica que tiene por foco el punto
F ( — 1, — 2) , directriz la recta l : x — y + 1 = 0 y excentricidad e = Vi .
Solución. Por la definición general, el lugar geométrico es una elipse, y
su ecuación puede obtenerse a partir de la relación
V (x + l ) 2 + (y + 2 ) 2 = ]_
jx - y + 1 I 2
V 2
Si elevamos al cuadrado, quitamos denominadores, trasponemos y agrupamos
términos, obtenemos la ecuación buscada,
7x2 + Ixy + 7y2 + 14* + 34y + 39 = 0.
Esta ecuación representa la elipse de la figura 103.
Fig. 103
La determinación de la ecuación de la directriz de una parábola ya
ha sido considerada en el Capítulo V I. Ahora determinaremos las
ecuaciones de las directrices de las cónicas centrales. Estas cónicas
tienen cada una dos focos y , por ta n to , dos directrices, correspondiendo
una a cada foco.
De la simetría de las cónicas, se sigue, por la ecuáción (2), que
el eje focal es perpendicular a la directriz. Por tanto , si tomamos la
ecuación de la elipse en su forma canónica,
las ecuaciones de sus directrices son de las formas x — k y x = l ,
correspondiendo a los focos (c, 0) y (— c, 0 ), respectivam ente, tal
Y
l
(5)