geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

COORDENADAS POLARES 247
3. Extensión. Como el valor absoluto de eos 9 no es nunca mayor que 1
para cualquier valor de 9, la ecuación (2) muestra que r es finito pata todos los
valores de 0 y, por tanto, se trata de una cuva cerrada. El valor máximo de r
se obtiene cuando 1 — eos 9 es un máximo, y esto ocurre cuando 9 = n. Por
tanto, el valor máximo de r es 4. Análogamente, se halla el valor mínimo de r,
que resulta ser 0 para 9 = 0°.
4. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos. Las coordenadas polares
de algunos puntos de la curva pueden obtenerse, a partir de la ecuación (2 ) ,
asignando valores a 9. Como la curva es simétrica con respecto al eje polar, no
es necesario tomar valores de 9 mayores de 180°. En la tabla que damos a continuación
figuran algunos valores correspondientes de r y 9. La tabla del
Apéndice IC, 5, es muy útil para estos cálculos.
9 eos 9 1 — eos 9 r
0° 1 0 0
0,866 0,134 0,268
60° 0,5 0,5 1
90° 0 1 2
120° - 0,5 1,5 3
- 0,866 1,866 3,732
180° - 1 2 4
C'-N
>A
O
O
5. Trazado de la curva. La curya que se busca es la representada en la
figura 114, y se la conoce con el nombre de cardioide.
6 . Ecuación rectangular. Sí multiplicamos la ecuación (2) por r, obtenemos
r2 = 2r — 2r eos 9,
la cual, por el teorema 1, Artículo 81, se convierte en
* 2 + y2 = 2r - 2x.
Trasponiendo — 2x al primer miembro, y elevando al cuadrado, tenemos
de donde
(x2 + y2 + 2x) 2 = 4r2,
(xz + y2 + 2x) 2 = 4 (x 2 + y2) ,
que es la ecuación rectangular buscada.
El lector puede observar las ventajas que a veces tienen las coordenadas polares,
comparando el trabajo que requiere el trazado de la cardioide a partir de su
ecuación polar y de su ecuación rectangular.
Ejemplo 2. Trazar la curva cuya ecuación es
r? = 4 eos 29. (3)