geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

la ecuación de su cono asintótico es
SUPERFICIES 433
" - + r _ ± 1 = 0
rj2 ' ^ 2 „ 2 u »
que es el cono asintótico (5 ) del hiperboloide de una hoja ( 3 ) .
Cuando un hiperboloide de una hoja y un hiperboloide de dos hojas
tienen un cono asintótico co m ú n , se llam an , apro p iadam ente, hiperboloides
conjugados. (Ver el Artículo 6 8 .) A sí, las superficies (3 ) y
(1 2 ) son hiperboloides conjugados.
141. Cuádricas sin centro. E n este artículo consideraremos las
cuádricas sin centro representadas por la ecuación
M x 2 + N y 2 = S z ,
en donde todos los coeficientes son diferentes de cero . Podem os entonces
escribir esta ecuación en la forma
2*2 «i2
± a 2 ± l>2 = C2’ ^
llam ada forma ordinaria o canónica de una superficie cuádrica sin
centro. D e la ecuación ( 1 ) se deduce que las cuádricas sin centro
tienen dos planos de sim etría (los planos Y Z y X Z ) llamados planos
principales, un eje de sim etría (el eje Z ) llamado eje prin cip a l, pero
ningún centro de sim etría.
Atendiendo a las diversas combinaciones posibles de signos en la
ecuación ( 1 ) , se deduce q u e , en esencia, existen solam ente dos tipos
diferentes de superficies, a saber :
а) Paraboloides elípticos (aquellos en que los coeficientes de los
térm inos de segundo grado son del mismo sig n o ).
б) Paraboloides hiperbólicos (aquellos en que los coeficientes de
los térm inos de segundo grado son de signos co n trario s).
a ) Paraboloide elíptico. U na form a canónica de la ecuación del
paraboloide elíptico es
X 2 V 2
g5 + 1)2 = c2'
X^ Z^ íiP‘ z ^
Las otras dos form as canónicas son —; + t 7 = cy y - ^ + -r; = ca;.
a 2 b¿ a 2 o2
P ara cada form a podemos tener dos variaciones según que c sea positivo
o negativo. N uestro estudio de la ecuación (2 ) será representativo
de todas las fo rm as.
La superficie pasa por el origen. N o hay otras intercepciones con
los ejes coordenados.