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402 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Acabamos de considerar la determinación de la ecuación de una
superficie cilindrica a partir de las ecuaciones de su directriz y de los
números directores de sus generatrices. Para el problema inverso, a
saber, encontrar las ecuaciones de la directriz y los números directores
de las generatrices de una superficie cilindrica, a partir de su ecuación,
podemos proceder como se ilustra en el siguiente ejem plo. M ás adelante
(A rt. 137, ejemplo 3 ) , consideraremos otro método que es aplicable
en algunos casos.
Ejemplo 2. Demostrar que la ecuación
x2 + y2 + 2z 2 + 2x2 - 2yz = 1 (8)
representa una superficie cilindrica, y hallar las ecuaciones de su directriz y los
números directores de sus generatrices.
Solución. De la definición de superficie cilindrica se deduce que las secciones
hechas por planos paralelos al plano de la directriz son curvas congruentes
con la directriz. Así, las secciones de la superficie (8) hechas por los planos
z = k son las curvas
x 2 + y2 + 2k2 + 2kx — 2ky — 1 , z = fe,
las cuales pueden escribirse en la forma
(x + fe) 2 + ( y - fe) 2 = 1, z = fe. (9)
Las ecuaciones (9) son todas circunferencias de radio 1, cualquiera quesea el
valor de fe. En particular, para fe = 0, tenemos la circunferencia
x2 + y2 = 1 , z = 0. ( 10)
Por tanto, la superficie (8) es una superficie cilindrica circular cuya directriz
es la circunferencia (10) .
Evidentemente, la recta que une el centro ( — fe, fe, fe) de cualquiera de las
circunferencias (9) y el centro (0, 0, 0) de la directriz (10) es paralela a
las generatrices. Como los números directores de esta recta son [—1, 1, 1],
éstos son también los números directores de las generatrices.
El estudiante debe construir la superficie (8) .
Si las generatrices de una superficie cilindrica son perpendiculares
al plano de su directriz, se llama recta y , en caso contrario, oblicu a.
Las superficies cilindricas rectas son de gran importancia , como veremos
más adelante en el Capítulo X V II. Por el método empleado en
el ejemplo 1, podemos fácilmente demostrar que la ecuación de una
superficie cilindrica recta, cuyas generatrices son perpendiculares al
plano coordenado de su directriz, carece de la variable no medida en
ese plano coordenado. A dem ás, el lugar geométrico plano de esta
ecuación es la directriz. Por ejem plo, la superficie cilindrica recta
cuya directriz es la circunferencia y2 + z1 = 9 , * = 0 , se representa
por la ecuación y2 + z2 = 9.