geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 221
Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación, quitando
denominadores y trasponiendo, resulta
Podemos dem ostrar, recíprocamente, que cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación (2) es un punto que satisface la
condición geométrica (1 ) y , por ta n to , está sobre el lugar geométrico.
De acuerdo con esto , la ecuación (2 ) es la ecuación buscada.
Por lo anteriormente estudiado, reconocemos a primera vista que
el lugar geométrico de la ecuación (2) es una cónica , pero su n atu raleza
depende, evidentem ente, del valor de la excentricidad e . Hay
entonces dos casos generales por considerar : I. e = 1; II. e 1.
I. e = 1. En este caso , la ecuación (2) toma la forma
E sta ecuación puede escribirse
(1 — e2) x2 — 2px + y 2 + p2 = 0. (2 )
— 2 px + yi + p 2 = 0.
que representa una parábola cuyo vértice es el punto
eje coincide con el eje X .
I I . e 1. En este caso , 1 — e2 0. Dividiendo la ecuación
(2 ) por 1 — e2, obtenemos
Completando el cuadrado en x , podemos reducir esta ecuación a la
segunda forma ordinaria de la ecuación de una cónica central,
p - e- p-e
(1 - e 2)2 1 — e2
El que la ecuación (3) represente una elipse o una hipérbola depende
del valor de e. Tenemos entonces dos subcasos :
a ) e < 1 ; b) e > 1.
a) e < 1. E n este caso, 1 — e2 < 0 , y ambos denominadores
en el primer miembro de (3) son positivos. Por tan to , el lugar
(3 )