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442 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
planos coordenados y como secciones de una superficie por planos
paralelos a un plano coordenado. A s í, las ecuaciones
X2 + y~ = 4 , Z = 2
representan una circunferencia contenida en el plano z = 2 . E sta
curva puede considerarse tam bién como la intersección de la superficie
del cilindro circular recto x 2 + y2 = 4 con el plano z = 2 . E videntem
ente , las curvas planas de este tipo pueden trazarse por los m étodos
de la G eom etría analítica plana.
Vamos a considerar la construcción de una curva contenida en un
plano no paralelo a , ni coincidente con , un plano coordenado. Sea C
dicha c u rv a , y considerémosla definida como la intersección de una
superficie curva S y un plano 8. P ara construir C debemos obtener
un medio para determ inar la localización de cualquier punto de la
c u rv a . E sto puede hacerse trazando prim ero un p la n o , digamos 8 ',
paralelo a uno de los planos coordenados y tal que corte a C . E l plano
8' cortará a S en una c u rv a, digamos C ', y a 8 en una re c ta , digam
os l ' . La intersección de C ' y l ’ es, evidentem ente, un punto de
la curva C .
Ejemplo. Construir aquella porción de la curva
C : x2 — 4y2 — 4z2 + 4 = 0, x = y (O
que está en el primer octante.
Solución. La primera ecuación representa un hiperboloide de revolución S
de una hoja (fig. 193) que se extiende a lo largo del eje X, y la segunda un
plano 8 perpendicular al X Y y que
z
pasa por el eje Z. En la figura 193 aparecen
las porciones de estas superficies
que están en el primer octante.
La intersección de S con el eje Z es
el punto A, que, por tanto, está también
sobre 8 . Luego A es un punto de
la~ curva C ; sus coordenadas se encuentran
fácilmente y son (0, 0, 1) . Las
trazas de S y 8 sobre el plano X Y son,
respectivamente, la hipérbola
X
Fig. 193
y la recta x = y, z = 0 ; su intersección
B(% y/ 3 , % y / 3 ,0 )
es también un punto C.
Para localizar cualquier otro punto
de C, consideremos un plano 8' paralelo