geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 147
EJERCICIOS. Grupo 22
Para cada ejercicio el estudiante debe dibujar el lugar geométrico y todos los
sistemas de ejes coordenados.
En cada uno de los ejercicios 1-5, simplifíquese la ecuación dada por transformación
de coordenadas.
1. X2 - 10*y + y2 - 10* + 2y + 13 = 0.
2. 52*2 - 72xy + 73y2 - 104* + 72y - 48 = 0.
3. 16*2 + 24*y + 9y2 + 60* - 80y 4- 100 = 0.
4. 3* + 2y - 5 = 0.
5. 2*2 + 2*y 4- 2y2 - 2* - lOy + 11 - 0.
6. Trazar el lugar geométrico del ejercicio 1 aplicando directamente los
métodos del Artículo 19.
7. Trazar eí lugar geométrico del ejercicio 2 directamente por los métodos
del Artículo 19.
8. Por transformación de coordenadas, demuéstrese que la ecuación general
de una recta, A* + By + C = 0, puede transformarse en y" = 0, que es la
ecuación del eje X".
9. Por transformación de coordenadas, demuéstrese que la ecuación general
de una recta, Áx + By + C = 0, puede transformarse en x " = 0, que es la
ecuación del eje Y "■
10. Hallar las coordenadas del nuevo origen si los ejes coordenados se trasladan
de manera que la ecuación A x 2 + Bxy 4- Cy2 + Dx + Ey F = 0 se
transforma en otra ecuación que carezca de términos de primer grado.
11. Hallar las nuevas ordenadas del punto (— 1, 3) cuando los ejes coordenados
son trasladados primero al nuevo origen (4, 5) y después se les gira un
ángulo de 60c.
12. Hallar las nuevas coordenadas del punto (2, 2) cuando los ejes coordenados
son girados primero un ángulo de 45° y después son trasladados al nuevo
origen (— 1, 1) .
13. Por traslación de los ejes coordenados al nuevo origen (3, 3) y después
rotación en un ángulo de 30°, las coordenadas de un cierto punto P se transforman
en (7, 6) . Hállense las coordenadas de P con respecto a los ejes originales.
14. Por traslación de los ejes coordenados al nuevo origen (1, 1) y luego
rotación de los ejes en un ángulo de 45°, la ecuación de cierto lugar geométrico
se transformó en x" 1 — 2y"2 = 2. Hallar la ecuación del lugar geométrico con
respecto a los ejes originales.
15. Demostrar, analíticamente, que la distancia entre dos puntos en el plano
coordenado no se altera (es invariante) con la transformación de coordenadas.
En cada uno de los eje/cicios 16-20, hállese la ecuación del lugar geométrico
del punto móvil y simpüfíquese por transformación de coordenadas.
16. El punto se mtíeve de tal manera que su distancia del punto ( — 2, 2) es
siempre igual a su distancia a la recta * — y + 1 = 0 .
17. El punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los
dos puntos (1, 1) y (— 1, — 1) es siempre igual a 4.