geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SISTEMAS DE COORDENADAS 27
todos los puntos comprendidos por el teorema deberán designarse
por coordenadas apropiadas marcadas sobre la figura. El procedimiento
a seguir después de esto depende de la propiedad o propiedades
particulares que van a demostrarse y se comprenderá mejor por medio
de ejemplos.
Ejemplo 1. Demostrar analíticamente que las rectas que unen los puntos
medios de los lados sucesivos de cualquier cuadrilátero forman un paralelo-
gramo.
y
Demostración. Una de las posiciones más simples para un cuadrilátero
cualquiera es la mostrada en la figura 18. Sean D, E. F y G los puntos medios
de los lados sucesivos del cuadrilátero OABC. Tenemos que demostrar
que el cuadrilátero DEFC es un paralelogramo. Esto sugiere la obtención de
las pendientes de los lados de DEFC. Estas pendientes se obtienen muy fácilmente
siempre que se conozcan las coordenadas de los puntos D. E, F y G.
Para calcular estas coordenadas observemos que, por ser los puntos medios de los
lados del cuadrilátero dado, bastará aplicar las fórmulas del punto medio de un
segmento. Según esto, la obtención de las coordenadas será el puato de partida
de la demostración.
Por el corolario del teorema 3 del Artículo 7, tenemos, para las coordenadas
de los puntos medios:
0 + a
D: (£+■. ü 1 + 1 i )
, ( f . A ) ,
2 '
a + c
2 ’ b-¥ )
: (
, (1+1. i + °). o„,(£±i, ±).
c + e
2 ’
0 + e
2 ’
d + 0\
2 )
0 + 0)
;= ( « ± ! . 1 ± » ) , ( ± . o).