geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

190 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
21. Si desde un punto exterior P i se trazan tangentes a una elipse, el segmento
de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P¡
para esa elipse. (Véase el ejercicio 27 del grupo 25, Art. 57.) Si P i(jri, y i)
es un punto exterior a la elipse b2x 2 + a2y2 = a2b2, demuéstrese que la ecuación
de la cuerda de contacto de P\ es b2x ix + a2yiy = a2 b2. (Véase el teorema 4
del Art. 63.)
22. Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto (3, 1) para la
elipse x2 + 2y 2 = 2.
23. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de
cualquier sistema de cuerdas paralelas de pendiente m de la elipse
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 es y = — — x, m 7^ 0.
a2 m
Obsérvese que el lugar geométrico es una recta que pasa por el centro y, por
tanto, es un diámetro de la elipse. (Véase el ejercicio 29 del grupo 25, Art. 57. )
24. Establecer y demostrar un teorema para la circunferencia que sea análogo
al teorema dado en el ejercicio 23 para la elipse.
25. Demostrar que si un diámetro de una elipse biseca todas las cuerdas
paralelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuerdas paralelas
al primero. Tales diámetros se llaman diámetros conjugados de la elipse.